Uso de la diferenciación para analizar el movimiento lineal

¿Qué es el movimiento lineal?

Un automóvil acelera mientras conduce por una carretera recta. ¿Crees que podemos describir el movimiento de este automóvil como lineal? ¿Qué pasa si el automóvil reduce la velocidad o gira en una curva? ¿Será lineal entonces? Antes de que pueda comprender cómo usar la diferenciación para analizar el movimiento lineal, primero debe comprender qué es el movimiento lineal y cómo reconocerlo.

La palabra lineal es una pista que puede ayudarte a reconocer el movimiento lineal. El movimiento lineal es cualquier tipo de movimiento en el que el objeto se mueve en línea recta. Puede moverse a una velocidad constante, o puede aumentar o disminuir la velocidad. Mientras se mueva en línea recta, su movimiento es lineal. Si la trayectoria del movimiento del objeto se curva, entonces su movimiento NO es lineal.

Entonces, un automóvil que viaja en una carretera recta tiene un movimiento lineal, ya sea que se mueva a una velocidad constante, acelere o desacelere. Sin embargo, si gira alrededor de una curva, su movimiento NO es lineal.

Matemáticamente, puede idear una ecuación para predecir la posición de un objeto cuyo movimiento es lineal. Por ejemplo, para el automóvil que está acelerando, puede determinar que la posición del automóvil viene dada por la siguiente ecuación, donde el tiempo ( t ) se mide en segundos y la posición ( x ) se mide en metros:

Con esta función de posición, puede encontrar la posición en cualquier punto. Por ejemplo, veamos cuál sería la posición del automóvil después de exactamente 3.0 segundos.

Después de tres segundos, el automóvil se habrá movido una distancia de 63 metros.

Velocidad

Ya ha visto cómo determinar matemáticamente la posición de un objeto, pero también hay una forma de determinar qué tan rápido se mueve el objeto en cualquier momento, una cantidad llamada velocidad. La velocidad de un objeto se define como la tasa de cambio de su posición, que es simplemente la derivada de la función de posición.

Usando la función de posición dada arriba, ¿cuál es la velocidad del automóvil después de 3.0 segundos?

Para responder a esta pregunta, primero encuentre la derivada de la función de posición:

Luego, encuentre la velocidad cuando t = 3.0 s:

Aceleración

Como puede ver, la velocidad del automóvil descrita anteriormente no es constante, por lo que significa que el automóvil tiene una aceleración. La aceleración de un objeto te dice qué tan rápido está cambiando su velocidad. La aceleración se calcula encontrando la derivada de la función de velocidad (o la segunda derivada de la función de posición).

Veamos ese auto acelerando una vez más. Para encontrar su aceleración, encuentre la derivada de la función de velocidad que acabamos de calcular anteriormente:

Dado que la aceleración de este automóvil es constante, su velocidad cambia a la misma velocidad todo el tiempo. Tiene la misma aceleración a los 0 segundos que a los 5 segundos. Este es el caso de muchos problemas, pero no siempre es cierto. A veces, la aceleración también puede cambiar con el tiempo.

Problemas de práctica

1. La posición de una partícula viene dada por la siguiente ecuación:

¿Cuáles son la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 0 s?

Primero, encuentre expresiones para la velocidad y aceleración de la partícula usando diferenciación:

Luego, encuentre la velocidad y la aceleración cuando t = 0 s:

En esta situación, la aceleración NO es constante. Aunque la aceleración inicial de la partícula es de 20 m / s 2, esto cambiará a medida que pase el tiempo. En 1 segundo, la aceleración ya ha disminuido a 8 m / s 2 .

2. Si la posición de una partícula viene dada por la ecuación:

Encuentre la posición y la velocidad de la partícula cuando la aceleración es cero.

Para responder a esta pregunta, primero debe encontrar una expresión para la aceleración. Puede hacer esto calculando la segunda derivada de la función de posición:

Luego, iguale la aceleración a cero y calcule el momento en que esto ocurre.

Finalmente, regrese a las expresiones para posición y velocidad y encuentre la posición y velocidad en este momento:

Resumen de la lección

El movimiento lineal es cualquier tipo de movimiento en el que un objeto se mueve en línea recta. Puede moverse a una velocidad constante, acelerándose o disminuyendo la velocidad.

La velocidad de un objeto se define como la tasa de cambio de su posición, que es simplemente la derivada de la función de posición.

La aceleración de un objeto te dice qué tan rápido está cambiando su velocidad, y la aceleración se calcula encontrando la derivada de la función de velocidad (o la segunda derivada de la función de posición).

Rodrigo Ricardo Editor y fundador