Factorización
¿Alguna vez mezcló colores de pintura, como amarillo y azul para hacer verde? Una vez que agrega azul al amarillo, es prácticamente imposible que vuelva a ser amarillo.
En álgebra, sin embargo, ese no es el caso. Podemos factorizar una expresión. Factorizar es el proceso de encontrar los factores. Digamos que tenemos 2 x + 4. Podemos factorizar un 2 para obtener 2 ( x + 2).
Es como si hubiéramos extraído mágicamente el azul del verde para hacer amarillo. Asimismo, si tenemos x ^ 2 + 3 x , podemos sacar una x para obtener x ( x + 3). Eso es como quitar el amarillo para hacer azul.
Pero, ¿y si tenemos algo como 18 a ^ 3 + 9 a ^ 2? Éste tiene números y variables que se pueden factorizar. ¡Vaya! La paleta de nuestro artista se volvió un poco más compleja. Pasamos de pintar con los dedos a, bueno, una paleta real. En esta lección, aprenderemos cómo combinar números y variables cuando factorizamos.
Combinar números y variables
De acuerdo, 18 a ^ 3 + 9 a ^ 2. Hagámoslo.
Historia de la gematría, pares de letras y números
Si solo quisiéramos factorizar números, veríamos el 18 y el 9 y encontraríamos el máximo factor común. Ese es el número más grande que es un factor de ambos números. Con 18 y 9, es 9.
Si lo único que queríamos variables de factor, nos fijamos en que un ^ 3 y un ^ 2. Podemos factorizar un a ^ 2. ¿Por qué? Porque cuando multiplicamos términos con exponentes juntos, sumamos los exponentes.
Entonces, en esta expresión, podemos factorizar tanto un número como una variable. Eso significa que queremos combinar las cosas que estamos factorizando. Ese es el 9 y el a ^ 2. Los juntamos para obtener 9 a ^ 2.
Entonces, 9 a ^ 2 es el máximo común divisor de los términos en esta expresión. Si sacamos 9 a ^ 2 de 18 a ^ 3, ¿qué nos queda? Bueno, el 18 se convierte en un 2, ya que 9 * 2 es 18, y el a ^ 3 se convierte en solo a , ya que a ^ 2 * a es a ^ 3.
Entonces, tenemos 2 a . Con 9 a ^ 2, todo desaparece, ¿no es así? Bueno, no del todo. Nos queda un 1. ¿Por qué? Revisemos nuestro trabajo. No pintarías un cuadro y no lo mirarías, ¿verdad? Al factorizar, siempre es mejor mirar el producto terminado.
Controles y variables en Experimentos Científicos: Definición y ejemplos
Si decimos que la expresión factorizada es 9 a ^ 2 (2 a ), ¿qué sucede cuando distribuimos ese 9 a ^ 2? Solo obtenemos 18 a ^ 3. ¿A dónde fue nuestro segundo mandato? Es por eso que necesitamos tener no solo 2 a , sino 2 a + 1. Entonces, nuestra expresión factorizada es 9 a ^ 2 (2 a + 1). Es como si hubiéramos sacado el malva de la siena quemada.
Ejemplo 1
Probemos uno con dos variables y tres términos: 24 pq ^ 2 + 32 p ^ 3 q + 8 p ^ 2 q . Nos graduamos en Impresionismo aquí. Desarmemos esta obra maestra.
Nuevamente, comience con los números. 24, 32 y 8. Veamos. Todos son pares, por lo que todos tienen un 2 como factor común. También son múltiplos de 4. Pero, ¿podemos hacernos más grandes? Si. 8 es un factor de cada número.
¿Qué pasa con las variables? Podemos tomar estos por separado. Hay una p , una p ^ 3 y una p ^ 2. Entonces, podemos factorizar una p . Con las q , hay una q ^ 2 y luego dos q . Entonces, factorizaremos una q . Eso es un 8, una p y una q . Ponlo junto, y tenemos 8 pq .
Si factorizamos 8 pq de 24 pq ^ 2, tenemos 3 q . Si factorizamos 8 pq de 32 p ^ 3 q , tenemos 4 p ^ 2. Comprobemos eso.
Variables en la Investigación: Definición, tipos y ejemplos
8 pq * 4 p ^ 2. 8 * 4 es 32. p * p ^ 2 es p ^ 3. Y, bueno, q . Entonces obtenemos 32 p ^ 3 q , que es con lo que comenzamos. ¡Eso es genial! Finalmente, si factorizamos 8 pq de 8 p ^ 2 q , nos quedamos solo con p .
Entonces, nuestra expresión factorizada es 8 pq (3 q + 4 p ^ 2 + p ). Me gusta pensar en factorizar como ver a un pintor al revés. Claro, desarmas la obra maestra, pero al final todo está mucho más limpio.
Ejemplo # 2
¿Qué tal uno más? -8 un ^ 2 b – 4 ab ^ 2 – 16 ab . Con todos esos signos negativos, esto es como el Período Azul de Picasso: triste, pero todavía bastante bueno.
Empecemos por los números. Tenemos 8, 4 y 16. Nuestro máximo común denominador es 4.
Pero espera. Eso no es todo. Tenemos -8, -4 y -16. ¡Todos son negativos! Así que también podemos descartar ese signo negativo. Eso significa que nuestro mayor factor común para los números no es 4, sino -4.
Es como si estuviéramos quitando la tristeza del artista. Quizás le conseguimos un helado. Eso siempre me hace feliz.
Bien, ¿qué pasa con las variables? Todos tienen una a , pero solo un término tiene una a ^ 2. Y todos tienen una b , pero solo un término tiene una b ^ 2. Entonces, podemos factorizar un ab . Ponga eso junto, y estamos factorizando un -4 ab .
Con el primer término, nos quedamos con 2 positivo una . -4 ab * positivo 2 a es -8 a ^ 2 b . Con el segundo término, nos quedamos con b positivo . -4 ab * b positivo es -4 ab ^ 2. Y, finalmente, el tercer término va a ser positivo 4. -4 ab * positivo 4 es -16 ab .
Entonces, nuestra expresión factorizada es -4 ab (2 a + b + 4). ¡Y eso es! Nuestra expresión ya no es azul.
Resumen de la lección
Para resumir, cuando factorizamos una expresión, solo estamos encontrando los mayores factores comunes en cada término. Si podemos factorizar tanto números como variables, buscamos los factores de cada uno y luego los combinamos en un solo término.
Para verificar su trabajo, simplemente distribuya el término que factorizó. Deberías volver a tu expresión original. Si todos los términos son negativos, también puede factorizar ese signo negativo, lo que hace que su expresión sea mucho más positiva.
Los resultados del aprendizaje
El conocimiento obtenido de esta lección podría ayudarlo a:
- Comprender el proceso de factorización
- Reconocer los factores comunes más importantes
- Identificar los factores numéricos y variables de una ecuación.
- Factoriza una ecuación y combina los factores en un solo término
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