Comportamiento final en matemáticas: definición y reglas

¿Qué es el comportamiento final?

Cada función se puede dibujar como un gráfico básico o «imagen». Cada gráfico tiene ciertas características de comportamiento final. El comportamiento final de un gráfico se define como lo que sucede al final de cada gráfico. En otras palabras, ¿en qué dirección se dirigen los extremos de los gráficos?

Por ejemplo, ¿el gráfico sube en los extremos? ¿El gráfico desciende en los extremos? La respuesta a estas preguntas se puede encontrar dentro del término principal de una función , o el término con la variable ( x ) con el exponente más alto. A medida que la función se acerca al infinito positivo o negativo, el término principal determina cómo se ve el gráfico a medida que avanza hacia el infinito. Este comportamiento final es consistente según el término principal de la ecuación y el exponente principal.

Término inicial positivo con un exponente par

En cada función tenemos un término principal. Para reiterar, el término principal es el término de la función con el exponente más alto. Si tenemos una función como, f (x) = x ^ 2 + 2 x + 3 ‘, el término principal es x ^ 2 ya que el exponente 2 es el exponente más alto. Si tenemos una función como, g (x) = x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4, el término principal es x ^ 4, ya que el exponente 4 es el más alto. Podemos reorganizar la función para que los exponentes estén en orden descendente: g (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2.

En ambas funciones, vemos que el término principal tiene un exponente par. Los términos principales también son positivos. Estas dos cualidades, un exponente positivo y un término positivo, determinan el comportamiento final del gráfico. Echemos un vistazo a la gráfica de f (x) = x ^ 2 + 2 x + 3:

Función cuadrática f (x) = x ^ 2 + 2x + 3

¿Qué hacen los extremos de esta gráfica? ¿Los extremos suben o bajan?

Ahora comparemos esta gráfica con la gráfica de g (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2

g (x) = x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2

¿Qué notas sobre el comportamiento final de esta función? ¿Notó que los comportamientos finales de ambos gráficos están haciendo lo mismo? Ambos suben por ambos extremos. Veamos una función más para ver qué está haciendo el comportamiento final.

Observa esta gráfica de la función h (x) = x ^ 8 – 3

h (x) = x ^ 8 – 3

Una vez más, cuando el exponente principal es un número par y el término principal es positivo, el comportamiento final de la gráfica aumenta en ambos extremos. Esta es una característica de conjunto.

Término inicial negativo con un exponente par

Ahora veamos las funciones cuando el término principal es negativo, pero el exponente sigue siendo par. Antes de mirar los gráficos, ¿adivina cuál cree que podría ser el comportamiento final?

f (x) = -x ^ 2 + 2x + 3

g (x) = -x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2

h (x) = -x ^ 8 – 3

El comportamiento final de las funciones desciende en ambos extremos. Esto se debe a que el coeficiente principal ahora es negativo. Entonces, cuando tienes una función donde el término principal es negativo con un exponente par, ambos extremos de la función bajan.

Puedes recordarlo de esta manera:

Cuando tienes un término principal de exponente positivo / par, el gráfico es «feliz» o sonriente (arriba / arriba).

Cuando tienes un término principal de exponente negativo / par, el gráfico es ‘triste’ o fruncido (hacia abajo / hacia abajo).

Término inicial positivo con un exponente impar

Veamos qué sucede cuando una función tiene un término inicial positivo con un exponente impar. Aquí hay tres gráficas de funciones con exponentes impares en el término principal. ¿Ves un patrón del comportamiento final de los gráficos?

Función lineal f (x) = x + 2

Función cúbica f (x) = x ^ 3-4

f (x) = x ^ 5 + 1

¿Que notaste? Cada una de estas funciones tiene el lado izquierdo hacia abajo y el lado derecho hacia arriba. Ésta es una característica de conjunto de una función cuyo coeficiente principal positivo tiene un exponente impar.

Término inicial negativo con un exponente impar

Ahora, veamos las funciones donde el coeficiente principal es negativo y los exponentes siguen siendo impares. ¿Tiene una idea de lo que cree que hará el comportamiento final? Vamos a ver:

f (x) = -x + 2

f (x) = -x ^ 3 – 4

f (x) = -x ^ 5 + 1

Observe que cuando tenemos un término inicial que es negativo y tiene un exponente impar, el comportamiento final se invierte; el lado izquierdo sube, mientras que el derecho baja. Esto es directamente opuesto a cuando tenemos un término inicial positivo con un exponente impar. Puedes recordarlo de esta manera:

Cuando tienes un término inicial que es positivo y un exponente impar, terminamos con una nota positiva (hacia arriba).

Cuando tienes un término inicial que es negativo y un exponente impar, terminamos con una nota negativa (hacia abajo).

Resumen de la lección

Revisemos. Con cualquier función, hay un comportamiento final establecido basado en el término principal. El coeficiente y el exponente del término principal determina el comportamiento final de un gráfico , definido como lo que hace el gráfico cuando se acerca al infinito o en los extremos del gráfico. El término principal de una función es el término con la variable ( x ) con el exponente más alto.

Aquí están las reglas en pocas palabras:

Rodrigo Ricardo Editor y fundador