El valor de e: definición y ejemplo

Número de Euler

El número e a veces se llama ‘número de Euler’ porque Leonhard Euler, el matemático suizo, usó esta letra en particular para representar esta constante matemática. Creo que es fácil recordar el nombre de este número. ¡La letra ‘e’ es también la primera letra del apellido de Leonhard Euler!

Como constante matemática, el número e sigue siendo el mismo valor sin importar qué matemáticas le hagas. Siempre será aproximadamente 2.71828. Digo aproximadamente porque el número e , como el número pi , es un número irracional.

Irracional

Al ser un número irracional , el número e es un número real que dura para siempre y no se puede escribir como la fracción de dos números. Así como no puedes escribir una fracción simple para representar pi , no puedes escribir una fracción para representar e . Tienes que usar los símbolos para representar con precisión estos números.

Pero podemos aproximarnos a números irracionales. Al igual que aproximamos el número pi a 3,14, aproximamos e a 2,71828. Sin embargo, tenemos en cuenta que el número es indefinido y, al usar estas aproximaciones, nuestras respuestas también serán aproximaciones y no serán 100% precisas.

Calcularlo

Hay dos formas de calcular e , pero ambas involucran infinito.

La primera es cuando calculamos (1 + 1 / n ) ^ n cuando n es infinito. Seguro que no podemos calcular el infinito; hacemos cálculos que aumentan progresivamente. ¿Podremos alguna vez alcanzar el infinito? No, no podemos, pero podemos acercarnos más y más a él si seguimos haciendo cálculos cada vez más altos. Al hacer esto, vemos que nos acercamos más y más al número e . Por ejemplo, (1 + 1 / 100,000) ^ 100,000 = 2.71827, que es correcto con cuatro decimales. Si seguimos haciendo cálculos más altos, nuestra respuesta estará cada vez más cerca del valor de e .

¡La segunda forma de calcular e es seguir sumando a esta serie 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5 !. . . El signo de exclamación es el símbolo del factorial, lo que significa que tomamos el número y lo multiplicamos por todos los números que se necesitan para contar hasta ese número comenzando con 1. ¡Entonces 5! significa que multiplicamos 1, 2, 3, 4 y 5 juntos. 4! significa que multiplicamos 1, 2, 3 y 4 juntos. Cuanto más agregamos, más nos acercamos al valor de e . Pruébelo usted mismo.

Usos

El número e tiene un uso muy importante en matemáticas como base del logaritmo natural. Es posible que haya visto ecuaciones como y = ln ( x ). Lo que esto significa es que si tomamos el número e elevado a la potencia y , obtendremos x como respuesta. Entonces, ln (5) será igual a 1.609, porque si elevamos e a la potencia de 1.609 obtendremos 5 como respuesta. En las calculadoras, verá un botón para ln, que es esta función de logaritmo natural.

Otro uso famoso del número e es el que utilizan los banqueros cuando realizan cálculos compuestos continuos. ¿Que es esto? Bueno, cuando tiene una cuenta de ahorros, su interés, el dinero que gana, generalmente se calcula una vez al mes o una vez al año. Esto se llama capitalización periódica. Cuando aumenta la frecuencia de estos cálculos hasta el punto en que se calcula continuamente y se le paga continuamente, se denomina capitalización continua.

La fórmula de cuánto obtendría después de un período de tiempo de capitalización continua es FV = PV * e ^ (Rt) donde FV es el valor final, PV es la cantidad que tiene actualmente en el banco, R es la tasa de porcentaje anual y t es tu período de tiempo. Por ejemplo, si tuviera $ 10,000 en el banco y quisiera ver cuánto dinero tendría después de cinco años de capitalización continua con una tasa de porcentaje anual del dos por ciento, usaría la fórmula y agregaría sus números para obtener FV = 10,000 * e ^ (0.02 * 5). Al evaluar esto, obtiene 10,000 * e ^ (0.02 * 5), que es igual a 10,000 * e^ (0.1), que es igual a 10,000 * 1.1 = 11,051.71. Entonces, después de cinco años, tendría $ 11,051.71 en el banco. No está mal por dejar que su dinero se asiente durante cinco años.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido sobre el número e . Hemos aprendido que el número e a veces se llama número de Euler y es aproximadamente 2.71828. Al igual que el número pi , es un número irracional y dura para siempre. Las dos formas de calcular este número es calculando (1 + 1 / n ) ^ n cuando n es infinito y sumando a la serie 1 + 1/1. + 1/2! + 1/3! + 1/4! + 1/5! . . . Usamos el número e cuando hacemos cálculos que involucran el logaritmo natural y también cuando calculamos la composición continua.

Los resultados del aprendizaje

Después de ver esta lección, debería poder:

• Recuerde la fuente del número e y su valor aproximado
• Calcule el valor de e usando infinito y factoriales
• Aplicar e en ecuaciones matemáticas mediante el logaritmo natural y en cálculos compuestos.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador