Sistema inconsistente de ecuaciones: definición y ejemplo

Sistema de ecuaciones

Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones con las mismas variables. Por ejemplo, considere el siguiente sistema de ecuaciones:

x – y = -1

3 x + y = 9

Este es un sistema de ecuaciones con dos variables, a saber, x y y . Como sabemos, una ecuación representa un conjunto de puntos en un gráfico. Por lo tanto, un sistema de ecuaciones se puede representar tanto gráfica como algebraicamente.

El conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones consta de todos los puntos de intersección de las ecuaciones del sistema. Estos puntos representan valores que podemos conectar para las variables para hacer que todas las ecuaciones sean verdaderas. Por ejemplo, vemos que la solución del sistema en nuestro gráfico es (2,3), porque aquí es donde las dos ecuaciones se cruzan. Hay tres posibilidades para la solución de un sistema de ecuaciones:

1.) Un número finito de soluciones: las ecuaciones se intersecan en un número finito de puntos. Nuestro ejemplo anterior es un ejemplo de esto: las ecuaciones se cruzan exactamente en un punto.

2.) Infinitas soluciones: las ecuaciones se cruzan en todas partes (son la misma gráfica).

3.) Sin solución: las ecuaciones no se cruzan en absoluto.

Sistema inconsistente de ecuaciones

De las tres posibilidades para las soluciones de un sistema de ecuaciones, una posibilidad es que el sistema no tenga solución. Cuando este es el caso, llamamos al sistema un sistema de ecuaciones inconsistente . Mira el siguiente sistema:

3 x + 2 y = 12

3 x + 2 y = 6

Observe que la primera ecuación y la segunda ecuación de este sistema tienen el mismo lado izquierdo. Sin embargo, sus lados derechos difieren. ¿Entonces? Esto significa que no es posible encontrar números, x y y , a conectar a 3 x + 2 y a la igualdad de dos números diferentes, a saber, 6 y 12. Por lo tanto, no hay solución a este sistema, y es un sistema inconsistente de ecuaciones.

Este tipo de sistemas son extremadamente útiles a la hora de analizar un problema. Si representamos un problema usando un sistema y el sistema es inconsistente, entonces sabemos que no hay solución para ese problema. Esto nos dice que tenemos que hacer ajustes o empezar de nuevo. Si bien eso puede no ser ideal en un entorno del mundo real, puede ahorrar mucho tiempo.

Identificar sistemas inconsistentes

Hay varias formas de identificar un sistema inconsistente. Un enfoque consiste en deducir lógicamente que no hay solución, como hicimos antes. Si puede manipular las ecuaciones para obtener un lado izquierdo o derecho común, y el otro lado difiere entre las ecuaciones, puede deducir lógicamente que no hay solución para el sistema.

Otra forma de identificar un sistema inconsistente es tratando de resolver el sistema algebraicamente. A medida que avanza en el proceso de resolución del sistema, se encontrará con una contradicción . Es decir, se encontrará con algo que no tiene sentido, como 1 = 2 o 0 = 5. Veamos nuestro ejemplo de un sistema de ecuaciones inconsistente. Hay varias formas de resolver un sistema de ecuaciones algebraicamente, pero usemos la sustitución por simplicidad aquí.

Para utilizar la sustitución para resolver este sistema, siga los siguientes pasos:

1.) Resuelve una de las ecuaciones para una de las variables, digamos x .

2.) Inserte el valor de x que encontró en el paso 1 en la otra ecuación para resolver la variable restante, y . Ahora tiene un valor numérico para y .

3.) Inserte el valor de y numérico encontrado en el paso 2 en cualquiera de las ecuaciones originales. Esto resultará en una ecuación con una sola variable, x . Resuelve para x .

En ese punto, tiene valores numéricos para ambas variables y tiene su solución.

Intentemos aplicar esto a nuestro sistema de ejemplo. Primero, resuelva una de las ecuaciones para una de las variables: y . (Si quisiera resolver para x , está bien. No importa qué variable resuelva en el primer paso).

El siguiente paso es reemplazar nuestro valor de y en la segunda ecuación y luego resolver para x .

Vemos que cuando intentamos resolver el sistema, nos encontramos con el enunciado 12 = 6, que es imposible y, por lo tanto, una contradicción. Podemos detener el proceso de resolución ahora porque el sistema es claramente inconsistente.

El tercer enfoque para identificar un sistema inconsistente es graficar las ecuaciones en el sistema y observar la gráfica. Como aprendimos anteriormente, cuando un sistema de ecuaciones no tiene solución, las gráficas de las ecuaciones en el sistema no se cruzan en absoluto. Una vez más, considere nuestro ejemplo. La imagen muestra la gráfica de las dos ecuaciones en nuestro sistema:

Observe que las dos líneas son paralelas, por lo que nunca se cruzan. Por lo tanto, el sistema no tiene solución y es inconsistente.

Ejemplo

Apliquemos esto a un ejemplo práctico. Suponga que está tratando de hacer un jardín con dimensiones tales que la longitud más el ancho sea de 20 pies y el perímetro, o la distancia alrededor de todo el jardín, sea de 50 pies. Si dejamos l = largo yw = ancho, esta situación se puede representar mediante el siguiente sistema:

l + w = 20

2 l + 2 w = 50

Usemos la sustitución para resolver esto. Resolver la primera ecuación para l para obtener l = 20 – w . Conectando esto a la segunda ecuación, tenemos 2 (20 – w ) + 2 w = 50. Luego simplificamos e intentamos resolver para w .

Vemos que nos encontramos con una contradicción, por lo que no podemos hacer un jardín con las dimensiones especificadas; tendremos que encontrar nuevas dimensiones. ¿Ve cómo los sistemas inconsistentes realmente pueden ayudar con la identificación y resolución de errores en situaciones del mundo real?

Resumen de la lección

Un sistema de ecuaciones es un grupo de ecuaciones con las mismas variables. Un conjunto de soluciones es el conjunto de todos los puntos de intersección de las ecuaciones del sistema. Un conjunto de soluciones puede tener un número finito de soluciones, un número infinito de soluciones o ninguna solución. Cuando el sistema no tiene solución, decimos que el sistema es inconsistente .

Podemos identificar gráficamente un sistema inconsistente cuando las gráficas de las ecuaciones del sistema no se cruzan. También podemos identificar un sistema inconsistente de forma lógica o algebraica. Lógicamente, si podemos manipular las ecuaciones para que todas tengan un lado en común, podemos mirar el otro lado; si el otro lado difiere, entonces el sistema es inconsistente. Algebraicamente, nos encontraremos con una contradicción mientras resolvemos el sistema, lo que indica que el sistema es inconsistente. Saber qué es un sistema inconsistente y cómo identificarlo puede ahorrar mucho tiempo en situaciones del mundo real.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador