Identificación de inversos aditivos
Los sistemas de ecuaciones de esta lección contienen tres ecuaciones con tres variables. El sistema se resuelve cuando encontramos un valor para cada variable que satisface las tres ecuaciones. Hay muchas estrategias que se pueden utilizar para resolver las variables. En esta lección, nos enfocamos en el método de eliminación.
El objetivo del método de eliminación es que una o más variables se eliminen cuando se suman las ecuaciones. Si vemos que una ecuación tiene un término con el inverso aditivo de un término en otra ecuación, esos términos serán eliminados. Los términos se consideran inversos aditivos cuando su suma es cero. La siguiente imagen muestra ejemplos de inversos aditivos. Observe que los términos contienen la misma variable y coeficiente, pero tienen signos opuestos.
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Aplicar el método de eliminación
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Observe que los términos x en la Ecuación 1 y la Ecuación 2 son inversos aditivos. Cuando sumamos las ecuaciones, la variable x se eliminará, dejando las variables y y z . Desafortunadamente, no podemos resolver una ecuación que tiene dos variables. Entonces tendremos que seguir buscando otros patrones en el sistema que puedan ser útiles.
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Las ecuaciones 1 y 3 tienen inversas aditivas para los términos xy los términos y , por lo que cuando los sumamos, se eliminarán ambas variables. La nueva ecuación, 3 z = 3, tiene solo una variable que podemos resolver. Dividiendo por tres en ambos lados, nos queda z = 1.
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Ahora que conocemos el valor de z , podemos sustituirlo en nuestra nueva ecuación de 2 y – z = -11 y resolver para y . Una vez que conocemos los valores de dos variables, podemos sustituirlos en una de las ecuaciones originales y resolver la tercera variable.
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La solución del sistema es (2, -5, 1).
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Los términos y en la Ecuación 4 y la Ecuación 5 son inversos aditivos, así que comencemos sumando esas ecuaciones.
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No hay otras inversas aditivas en este sistema de ecuaciones. Pero si multiplicamos la Ecuación 6 por dos, tendrá inversas aditivas con la Ecuación 5. Después de sumar las ecuaciones, nos quedará una variable para resolver.
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Después de sumar las ecuaciones, nos queda -2 z = 18. Dividiendo ambos lados por -2, encontramos que z es igual a -9. Entonces podemos sustituir -9 por z en 7 x – 3 z = 27 y resolver para x . Una vez que conocemos los valores de x y z , podemos sustituirlos en una de las ecuaciones originales del sistema para resolver y .
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La solución del sistema es (0, 3, -9).
Resumen de la lección
Los sistemas de ecuaciones de tres ecuaciones tienen tres variables. El objetivo es encontrar el valor de cada variable que satisfaga las tres ecuaciones. El método de eliminación funciona bien cuando las ecuaciones contienen inversas aditivas , o si una ecuación se puede multiplicar por un número para crear inversas aditivas. Cuando se suman las ecuaciones, se eliminan una o dos de las variables, lo que facilita la resolución de las variables restantes.
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