Cómo utilizar el teorema de las raíces racionales: proceso y ejemplos

El teorema de las raíces racionales

El teorema de las raíces racionales es un teorema muy útil. Le dice que dada una función polinomial con coeficientes enteros o de números enteros, se puede encontrar una lista de posibles soluciones enumerando los factores de la constante, o último término, sobre los factores del coeficiente del término principal. Bien, eso es un bocado. Déjame mostrarte lo que significa todo esto.

Si tiene una función polinomial como 2 x ^ 2 + 9 x + 4, nuestras posibles soluciones son -1/1, -2/1, -4/1, -1/2, -2/2, -4 / 2, 1/1, 2/1, 4/1, 1/2, 2/2 y 4/2. Esta lista en realidad tiene duplicados, como 1/1 y 2/2. Eliminando estos duplicados y simplificando, obtenemos esta lista de posibles soluciones: -4, -2, -1, -1/2, 1/2, 1, 2 y 4.

Tenga en cuenta que en nuestra lista, tomamos todos y cada uno de los factores de nuestro término constante, nuestro 4, y lo colocamos sobre los factores de nuestro coeficiente principal, nuestro 2. Todos nuestros numeradores son factores del término constante, y todos nuestros denominadores son factores del coeficiente principal.

A esto lo llamamos el teorema de la raíz racional porque todas estas posibles soluciones son números racionales. Tener esta lista es útil porque nos dice que nuestras soluciones pueden estar en esta lista. De hecho, podemos comprobar si nuestras soluciones forman parte de esta lista. Si factorizamos nuestro polinomio, obtenemos (2 x + 1) ( x + 4). Nuestras soluciones son entonces x = -1/2 y x = -4. Como puede ver, estas soluciones están incluidas en nuestra lista.

Entonces, si no supiéramos por dónde empezar a encontrar soluciones a nuestro polinomio, podemos comenzar con el teorema de raíces racionales para ayudarnos a encontrar las soluciones. Después de hacer nuestra lista, podemos insertar números de uno en uno en nuestro polinomio y ver cuál nos dará una respuesta de 0 y, por lo tanto, será una solución.

Soluciones posibles

Observe que he estado usando la palabra «posibles» soluciones. Esto se debe a que la lista de números que obtenemos al usar el teorema de la raíz racional es solo eso. Es una lista de posibilidades. Como vio en nuestro primer ejemplo, la mayoría de los números no resultarán en absoluto soluciones. Y también es posible obtener una lista donde ninguno de los números son soluciones.

Cuando utilice este teorema para obtener su lista de posibles soluciones, recuerde eso. Obtendrá una lista de posibilidades; no obtiene una lista de soluciones.

Encontrar las posibilidades

Veamos este teorema con más detalle ahora con otro ejemplo. Intentemos encontrar las posibles soluciones a la función polinomial x ^ 3 – 6 x ^ 2 + 11 x – 6. Primero, localizamos nuestro término constante, que es nuestro último término. Es -6.

A continuación, ubicamos nuestro coeficiente principal. Es 1, ya que no hay ningún número delante del término x ^ 3. Ahora, debemos buscar los factores de estos dos números. Los factores de -6 son -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 y 6. Tenemos tanto positivo como negativo porque podemos hacer 1 * -6 así como -1 * 6. Estos factores se convertirán en nuestros numeradores.

A continuación, ¿cuáles son nuestros factores del coeficiente principal de 1? Son -1 y 1. Recuerde que podemos hacer 1 * 1 o -1 * -1. Estos se convertirán en nuestros denominadores. Ahora podemos ir y colocar sistemáticamente nuestros numeradores sobre nuestros denominadores uno por uno. Obtenemos -6/1, -3/1, -2/1, -1/1, 1/1, 2/1, 3/1 y 6/1.

Podemos simplificar estas fracciones para convertirlas en -6, -3, -2, -1, 1, 2, 3 y 6. Si lo vio venir, entonces vio que podríamos habernos quedado con solo los factores de -6 porque nuestro el denominador es siempre 1, y cualquier valor superior a 1 es él mismo.

Encontrar una solución

Ahora que tenemos nuestra lista, podemos continuar y verificar si alguno de ellos es una solución. Hacemos esto conectando los números uno por uno hasta encontrar las soluciones. Nuestro polinomio es un polinomio de grado 3, por lo que tendrá tres soluciones.

Ahora, recuerde que nuestra lista es una lista posible, por lo que puede contener o no todas las soluciones. Para comenzar a verificar, elegiré un número fácil. Voy a elegir el número 1. Al insertar este número en el polinomio, obtengo 1 ^ 3 – 6 (1) ^ 2 + 11 (1) – 6 = 1 – 6 + 11 – 6 = 0. Es igual a 0. Entonces, 1 es una solución. ¡Genial, hemos encontrado una solución! ¿Qué pasa si conectamos -1? (-1) ^ 3 – 6 (-1) ^ 2 + 11 (-1) – 6 = -1 – 6 – 11 – 6 = -24. No es igual a 0, por lo que -1 no es una solución.

Podemos seguir revisando nuestra lista para ver si hay más soluciones. O podemos dividir nuestro polinomio por ( x – k ), donde k es una solución para llegar a un polinomio más pequeño que, con suerte, podemos factorizar. Sin embargo, dejaremos ese proceso para otra lección en video.

Por ahora, practique encontrando la lista de posibilidades y luego verifique si alguna de ellas es una solución. Si seguimos comprobando números diferentes en este ejemplo, encontraremos que las otras dos soluciones son 2 y 3. Entonces, en este caso, todas nuestras respuestas son racionales y por lo tanto están contenidas en esta posible lista de soluciones.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que el teorema de las raíces racionales nos dice que dada una función polinomial con coeficientes de números enteros o enteros, se puede encontrar una lista de posibles soluciones enumerando los factores de la constante, o último término, sobre los factores del coeficiente de el término principal.

Por ejemplo, el polinomio 3 x ^ 2 + 7 x + 2 tiene un término constante de 2 y un coeficiente principal de 3. Los factores de 2 son -2, -1, 1 y 2. Los factores de 3 son -3, -1, 1 y 3. Colocando los factores del término constante sobre los factores del coeficiente principal, obtenemos esta lista de posibles soluciones: -2/1, -1/1, 1/1, 2/1, -2 / 3, -1/3, 1/3 y 2/3. Simplificando, obtenemos esta lista: -2, -1, 1, 2, -2/3, -1/3, 1/3 y 2/3.

Para verificar si alguna de las posibles soluciones son soluciones reales, las volvemos a conectar al polinomio para ver si es igual a 0. Si es igual a 0, entonces es una solución. Si es igual a algo distinto de 0, entonces no es una solución.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya revisado esta lección en video, podrá:

• Use el teorema de raíces racionales para encontrar una lista de posibles soluciones para una función polinomial
• Verifique si las posibles soluciones son soluciones reales

Rodrigo Ricardo Editor y fundador