Método de eliminación en álgebra: definición y ejemplos

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es cuando hay dos o tres ecuaciones, con dos o tres variables. En esta lección, trabajaremos con un sistema de dos ecuaciones y resolveremos tanto para x como para y . Esta respuesta, gráficamente, es donde se cruzan las dos líneas. Si no se cruzan, entonces tenemos líneas paralelas y no habrá respuesta para x e y . Si las ecuaciones son las mismas, gráficamente tenemos una línea sobre otra y tenemos un número infinito de soluciones.

Cuando se trata de sistemas de ecuaciones lineales, hay tres formas de resolver x e y : graficar, sustitución o eliminación. En esta lección, veremos el método de eliminación para resolver un sistema de dos ecuaciones lineales.

El método de eliminación

El método de eliminación consiste en eliminar una de las variables sumando las dos ecuaciones. De esta forma, eliminas una variable para poder resolver la otra variable. En un sistema de dos ecuaciones, dado que tiene dos variables, eliminar una hace que el proceso de resolver la otra sea bastante fácil. Probemos uno:

En el ejemplo anterior, puede ver que tiene dos ecuaciones con dos variables. El objetivo es tener una variable positiva y una negativa en las dos ecuaciones, por lo que es fácil de eliminar. En este caso, tenemos -5 y y 5 y , por lo que podemos sumar las dos ecuaciones, lo que elimina el término y . Una vez que el y se elimina a Largo Plazo, utilizamos nuestros conocimientos básicos de álgebra para resolver la x -term. Una vez que sumamos 5 y a -5 y , podemos ver que tenemos la ecuación 7 x = 14. Dividimos ambos lados entre 7 para aislar el término x y obtener x = 2. Ahora que tenemos la x-término, podemos usar la sustitución para resolver el término y . Reemplaza 2 en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver y .

Si usamos el primer término, obtenemos 3 (2) – 5 y = -9 o 6-5 y = -9. Restamos 6 de ambos lados y obtenemos -5 y = -15. Dividimos ambos lados por -5 para obtener el valor de y , que es 3. Pero recuerde, podemos usar cualquier ecuación, así que veamos la otra para ver si obtenemos la misma respuesta.

Esta vez, obtenemos 4 (2) + 5 y = 23 u 8 + 5 y = 23. Restamos ambos lados por 8 y obtenemos 5 y = 15. Dividimos ambos lados por 5 y obtenemos y = 3. Como puedas mira, obtuvimos la misma respuesta independientemente de la ecuación que usemos. Veamos la gráfica de estas ecuaciones:

Gráfico de la solución del ejemplo 1

En el gráfico puede ver que las dos líneas se cruzan en el punto (2,3). Esta es la solución para este sistema de ecuaciones.

Creando opuestos

A veces se encontrará con un sistema de ecuaciones en el que deberá crear un sistema en el que pueda eliminar una variable. Esto se hace multiplicando valores a través de toda la ecuación para configurar una variable positiva y una variable negativa. Probemos este:

Mientras observa este ejemplo, piense qué variable desea eliminar. Si queremos eliminar el término x , debemos asegurarnos de tener un positivo y un negativo del mismo término. Podría multiplicar la primera ecuación por -3, lo que me permitirá eliminar el término x .

Ahora podemos eliminar el término x porque -3 x y 3 x se cancelan entre sí. Nos quedamos con y = -6. Luego, podemos insertar ese número en la ecuación original y resolver para x . Como puede ver, tenemos x – (-6) = 3, o x + 6 = 3. Restamos 6 de ambos lados y terminamos con x = -3. Por lo tanto, la solución para este sistema de ecuaciones es (-3, -6).

Aquí está la solución gráfica que muestra las dos líneas que se cruzan en el punto (-3, -6):

Gráfico del ejemplo 2

Cuando dos líneas se cruzan, hay al menos una solución. A esto se le llama un sistema consistente . Una solución consistente con exactamente una solución se llama independiente .

Sistema con infinitas soluciones

Al resolver sistemas de ecuaciones, a veces nos encontramos con ecuaciones que tienen un número infinito de soluciones. Estas ecuaciones terminan siendo exactamente la misma ecuación. Quizás una ecuación sea el doble de la otra, pero cuando se simplifica, las dos ecuaciones son iguales. Usando la misma técnica para la eliminación, terminará con una declaración verdadera y ambas variables serán eliminadas. Probemos uno:

Usando la misma técnica, podemos multiplicar la segunda ecuación por 2 para eliminar el término x . Entonces, -2 x + y = -3, porque -4 x + 2 y = -6. Observe que ahora tenemos exactamente la misma ecuación. Si tomamos el siguiente paso de sumar las dos ecuaciones, terminaríamos con ambas variables eliminadas y un enunciado verdadero. Como en declaraciones verdaderas, se han eliminado todas las variables.

Como vemos aquí en este gráfico, ambas ecuaciones terminan siendo exactamente la misma línea. Por tanto, las soluciones son infinitas.

Soluciones infinitas

Dado que hay infinitas soluciones, este sistema de ecuaciones se considera dependiente .

Sin solución significa líneas paralelas

El propósito de resolver un sistema de ecuaciones es encontrar dónde se cruzan las dos ecuaciones lineales. Hasta ahora hemos tenido una intersección e infinitas intersecciones. ¿Qué sucede cuando intentamos utilizar la eliminación de un conjunto de líneas paralelas? Probemos este:

Dando el paso de sumar las dos ecuaciones, vemos que eliminamos ambos conjuntos de variables, pero nuestra solución es una declaración falsa. Cero no es igual a -3. Esto indica que no tenemos solución para este sistema de ecuaciones.

Como tenemos líneas paralelas, las dos líneas nunca se cruzan, por lo que no tenemos solución.

Sin solución = líneas paralelas

Cuando hay líneas paralelas, lo que significa que no hay solución, esto se denomina sistema inconsistente .

Resumen de la lección

Al resolver un sistema de dos ecuaciones lineales, estamos encontrando el punto o puntos donde las dos ecuaciones se cruzan. Un método se llama eliminación . El proceso consiste en eliminar una variable y luego resolver la otra variable. Sustituir la solución nuevamente en una de las ecuaciones originales nos permite resolver la otra variable. Una vez resuelto, tenemos tres tipos de soluciones. El primer tipo es cuando hay una solución . Aquí es donde se cruzan las dos ecuaciones lineales. El segundo tipo es cuando en realidad estamos trabajando con la misma línea exacta, por lo que hay infinitas soluciones . El tercer tipo es cuando no hay soluciones.porque las líneas son paralelas y nunca se cruzan. Al eliminar una variable, nos aseguramos de tener un negativo y uno positivo de la misma variable. De esta manera, cuando sumamos las dos ecuaciones, podemos eliminar un conjunto de variables y resolver el otro conjunto.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador