Ejemplos de problemas verbales del sistema de 3 ecuaciones

Sistema de tres ecuaciones

Un sistema de tres ecuaciones es un conjunto de tres ecuaciones que se relacionan con una situación dada y todas comparten las mismas variables, o incógnitas, en esa situación. Se puede usar un sistema de tres ecuaciones para resolver un problema en el que hay tres incógnitas y suficiente información para hacer tres ecuaciones. Hay varios métodos diferentes para resolver sistemas de tres ecuaciones, y en esta lección usaremos los dos más populares: sustitución y eliminación. Los siguientes ejemplos ilustran problemas verbales que involucran tres ecuaciones y tres incógnitas.

Problema verbal de ponche tropical

Suponga que quiere hacer un cierto tipo de ponche tropical con plátanos, naranjas y papayas. No sabes cuántos de cada uno poner en el ponche, pero sabes que hay siete piezas de fruta en la mezcla y que hay el doble de naranjas que de plátanos. También sabe que las siete frutas cuestan $ 5.25, donde los plátanos cuestan $ 0.50 cada uno, las naranjas cuestan $ 0.75 cada uno y las papayas cuestan $ 1.25 cada uno.

Como no sabe cuántas frutas de cada tipo poner en la bebida, esas son las incógnitas del sistema de tres ecuaciones. Las variables que se utilizan con más frecuencia son x , y y z . Sin embargo, para evitar confusiones, vamos a hacer que b represente el número de bananas utilizadas en la bebida, o represente el número de naranjas y p represente el número de papayas. Usemos estas variables y convierta la información del problema verbal en ecuaciones matemáticas:

Ecuación 1: b + o + p = 7 (número total de piezas de fruta)

Ecuación 2: 0.5 b + 0.75 o + 1.25 p = 5.25 (costo total de la fruta, donde el número de cada pieza, indicado por la variable, se multiplica por su costo individual)

Ecuación 3: o = 2 b (el doble de naranjas que bananas en la mezcla)

Como sabemos que o = 2 b , podemos usar la sustitución. La sustitución es cuando tiene un valor conocido para una variable y reemplaza ese valor conocido en las otras ecuaciones. En este caso, podemos sustituir 2 b por o en las otras dos ecuaciones. Esto reduce un problema de tres ecuaciones a un problema de dos ecuaciones, ¡mucho más simple de resolver!

b + 2 b + p = 7 se simplifica para convertirse en

3 b + p = 7

.5 b + .75 (2 b ) + 1.25 p = 5.25 se simplifica para convertirse en

2 b + 1,25 p = 5,25

Ahora logramos eliminar la variable o de las ecuaciones, lo que nos ayuda a avanzar hacia una solución, y ahora podemos usar el proceso llamado eliminación para combinar las dos ecuaciones restantes y eliminar temporalmente la variable p .

Cuando se usa el método de eliminación , el objetivo es encontrar una manera de eliminar o eliminar una variable sumando las dos ecuaciones. Si tiene suerte, una variable en cada ecuación será opuesta entre sí y se cancelará automáticamente al sumar las ecuaciones (por ejemplo, 3 x y -3 x se cancelarían).

Desafortunadamente para ti, en este ejemplo, la vida no es tan fácil. Entonces, tenemos que crear una forma de obtener una variable para cancelar en cada ecuación. Si multiplicamos la ecuación 3 b + p = 7 por -1,25, podemos convertir el término p en un opuesto al de la ecuación 2 b + 1,25 p = 5,25. Luego, podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar el término p de la ecuación resultante.

(-1.25) (3 b + p = 7) da como resultado

-3,75 b -1,25 p = -8,75

Añadiendo

-3,75 b -1,25 p = -8,75 hasta

2 b + 1,25 p = 5,25

Veremos que el término p se cancela, dejando una expresión lineal simple de una variable, que podemos resolver directamente:

-1,75 b = -3,5

b = 2

Una vez que tenemos un valor para b , el resto es fácil. Ahora volvemos a nuestras tres ecuaciones originales e ingresamos nuestros números en lugar de las variables. Como o = 2 b , o debe ser 4, y dado que b + o + p = 7, entonces p debe ser igual a 1. ¡La receta del ponche requiere dos plátanos, cuatro naranjas y una papaya!

En el siguiente ejemplo, usaremos un sistema de tres ecuaciones para determinar las estadísticas de fútbol americano universitario.

Problema verbal de estadísticas de fútbol americano universitario

Suponga que está tratando de determinar las yardas de pases completos, las yardas por tierra y las yardas totales de los intentos de gol de campo exitosos de su equipo de fútbol americano universitario favorito para una temporada determinada. Con tres incógnitas, necesitará tres piezas diferentes de información que pertenezcan a las tres incógnitas, hechos que se pueden convertir en un sistema de ecuaciones.

Por ejemplo, si sabe que el equipo hizo 50% más yardas terrestres que pateando tiros de campo, hizo 1725 yardas más en pases que en tiros terrestres y de campo combinados, y logró un total de 7775 yardas en los tres tipos de actividades, debería tener suficiente información para encontrar la distancia de pases, carreras y patadas del equipo. Usando p para pasar yardas, r para yardas terrestres yk para patear yardas, podemos establecer las ecuaciones como se muestra:

r = 1.5 k (50% más yardas terrestres que yardas de gol de campo)

p = r + k + 1725 (yardas por pase 1725 más que corriendo y pateando juntos)

p + r + k = 7775 (yardas totales para las tres actividades)

Sustituyendo r por 1.5 k en las ecuaciones restantes, reducimos el sistema a dos ecuaciones y dos incógnitas.

p = 1,5 k + k + 1725

p + 1,5 k + k = 7775

Combinando los k términos y moviendo todos los términos variables al lado izquierdo de la ecuación, tenemos:

p – 2,5 k = 1725

p + 2,5 k = 7775

Estas ecuaciones están convenientemente organizadas para eliminar la variable k , por lo que sumaremos las ecuaciones. Los k terminos se cancelan, dejando

2 p = 9500

p = 4750

¡El equipo pasó 4750 yardas! Con este valor establecido, ahora podemos resolver las variables restantes. Sustituyendo p por 4750 podemos resolver las yardas de pateo:

p + 2,5 k = 7775

4750 + 2,5 k = 7775

2,5 k = 3025

k = 1210

Usando nuestro valor para k podemos encontrar r :

r = 1,5 k

r = 1815 yardas

Hemos descubierto que nuestro equipo pasó para 4750 yardas, corrió para 1815 yardas y pateó un total de 1210 yardas en tiros de campo, ¡un cumplido para el brazo del mariscal de campo!

Resumen de la lección

Dediquemos un par de minutos a repasar lo que hemos aprendido aquí al resolver estos problemas verbales que involucran sistemas de tres ecuaciones. Las situaciones con tres variables o incógnitas se pueden resolver utilizando sistemas de tres ecuaciones . Se deben definir variables, establecer ecuaciones que reflejen los hechos conocidos y luego simplificar el sistema a través de métodos como eliminación , en el que el objetivo es encontrar una manera de eliminar (o eliminar) una variable sumando las dos ecuaciones; y sustitución , que es cuando tiene un valor conocido para una variable y reemplaza ese valor conocido en las otras ecuaciones. Muchas situaciones de la vida real se pueden resolver utilizando estos métodos y la aplicación de las reglas básicas del álgebra.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador