Interpretación gráfica de sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema lineal de ecuaciones

En esta lección, verá cómo puede interpretar o resolver un sistema de ecuaciones lineales graficándolo. Saber cómo usar este método gráfico puede ayudarlo a resolver visualmente dicho sistema sin tener que usar álgebra.

Recuerde, un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales. Si tiene una variable, entonces tiene una ecuación. Si tiene dos variables, que es el caso habitual de los problemas que encontrará, tendrá dos ecuaciones. Si tiene tres variables, tendrá tres ecuaciones y así sucesivamente. Pero, dado que todas son ecuaciones lineales, ninguna de las variables tendrá exponentes.

A continuación se muestra un ejemplo de un sistema lineal en dos variables. Este es el que estaremos resolviendo, también: y = 2 x – 3, y = -3 x + 2. Ver cómo cada ecuación tiene las mismas dos variables, x y y , y porque tenemos estas dos variables tenemos dos ecuaciones, y debido a que este es un sistema lineal ninguna de nuestras variables tiene exponentes?

En este momento, todas nuestras ecuaciones están escritas en forma pendiente-intersección, que es y = mx + b , lo que nos facilita graficar. Si nuestras ecuaciones se escribieron en forma estándar, que es Ax + By = C , entonces podemos reorganizar las ecuaciones en forma pendiente-intersección para que sea más fácil para nosotros graficar.

Graficar el sistema

Entonces, vamos a graficar nuestras dos ecuaciones. Esto es lo que obtenemos. La línea roja es para la ecuación y = 2 x – 3, y la línea azul es para la ecuación y = -3 x + 2. Para graficar estas dos líneas, comenzamos con nuestra intersección y , el último número en nuestra ecuación. Para y = 2 x – 3 es -3. Para y = -3 x + 2 es 2. La intersección y es donde estas líneas cruzan el eje y .

Después de tener este punto, encontramos nuestro siguiente punto mirando la pendiente de la ecuación. Para y = 2 x – 3 la pendiente es 2, lo que significa que nuestro siguiente punto es 2 hacia arriba y uno a la derecha de nuestra intersección en y . Seguimos el mismo procedimiento para la otra ecuación.

Encontrar la solución

Para encontrar la solución a este sistema de ecuaciones lineales, miramos para ver si las líneas se cruzan. Si es así, entonces el punto de intersección es la solución. Si las líneas no se cruzan, entonces no hay solución. Pero, si solo ve una línea, entonces tiene un número infinito de soluciones.

Mirando nuestra gráfica, vemos que nuestras dos líneas se cruzan, tenemos una solución. ¿Qué es?

Debido a que hemos representado gráficamente nuestras ecuaciones, podemos encontrar fácilmente la respuesta mirando la gráfica. ¿Dónde se encuentran nuestras dos líneas en el gráfico?

Nuestro insecto de dos líneas en (1, -1), esa es nuestra respuesta. Nuestro x = 1 y nuestro y = -1 en este punto. Podemos comprobar para ver si esto es correcto mediante la conexión de estos x e Y. valores en las ecuaciones originales. Si salen correctamente, entonces esta es la respuesta correcta.

La mayoría de las veces, si ha representado gráficamente sus ecuaciones correctamente, la respuesta que ve es correcta.

Ejemplo

Veamos otro ejemplo. Halla la solución de este sistema lineal graficándola: -4 x + 2 y = 6, y = x .

Al observar estas dos ecuaciones, vemos que la primera ecuación está escrita en forma estándar. Mientras, el segundo está en nuestra forma pendiente-intersección. Necesitamos reorganizar la primera ecuación para que esté en la forma pendiente-intersección, de modo que podamos graficarla fácilmente.

Para hacer esto, sumamos 4 x a ambos lados, y luego dividimos ambos lados por 2. Obtenemos 2 y = 6 + 4 x después de sumar 4 x a ambos lados. Ahora dividiendo ambos lados por 2, obtenemos y = 3 + 2 x . La forma pendiente-intersección es y = 2 x + 3.

Ahora, graficando esto en ecuaciones obtenemos esto. La línea roja es la primera ecuación, y = 2 x + 3, y la línea azul es la segunda ecuación, y = x . ¿Se cruzan estas dos líneas?

Ellos si. ¡Tenemos una solución!

¿Qué es?

Es (-3, -3). esto significa que nuestra x es igual a -3 y nuestra y es igual a -3. Y hemos terminado.

Resumen de la lección

Revisemos. Un sistema lineal de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones lineales. Tendrá una ecuación para cada variable en su sistema. Si su sistema tiene dos variables, tendrá dos ecuaciones. Si su sistema tiene tres variables, entonces tendrá tres ecuaciones. No hay exponentes en un sistema lineal. Para un sistema con dos variables, querrás que tus ecuaciones estén en forma pendiente-intersección, que es y = mx + b , para que puedas graficarlas más fácilmente. Una vez que haya representado gráficamente sus ecuaciones, observe si se cruzan. Si se cruzan, entonces tienes una solución. Si no se cruzan, no tiene solución. Si solo hay una línea, lo que significa que son la misma línea, entonces tiene un número infinito de soluciones.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador