Trinomios: factores comunes y sumas de factores comunes

Principales factores comunes

María está armando arreglos florales para una fiesta. Tiene 16 rosas rojas, 24 claveles blancos y 20 rosas amarillas. Quiere usar todas las flores y quiere tener el mismo número de cada flor en cada arreglo. ¿Cuál es la mayor cantidad de arreglos que puede hacer?

Para determinar la cantidad de arreglos que María puede hacer, vamos a encontrar el máximo común divisor. Un factor común es un número que divide exactamente dos o más números. Por ejemplo, 10 y 20 tienen un factor común de 2 porque ambos son pares. El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide exactamente dos o más números. Los números 10 y 20 tienen un máximo común divisor de 10.

Cómo encontrar el máximo común divisor

Para encontrar el MCD, comience enumerando todos los factores de los números. Siempre asegúrese de incluir ese número y 1.

Ejemplo: intentemos usar el MCD para responder la pregunta sobre los arreglos florales de María. María quiere determinar el mayor número de arreglos que puede hacer con el mismo número de cada flor en cada arreglo. María tiene 16 rosas rojas, 24 claveles blancos y 20 rosas amarillas, por lo que enumera todos los factores de 16, 24 y 20.

Dado que el MCD es 4, la mayor cantidad de arreglos florales que María puede hacer con todas las flores es 4.

Si observamos los factores junto al 4 en un círculo rojo, esos números son el número de cada flor en cada uno de los 4 arreglos florales. Cada arreglo tendrá el mismo número de cada flor: 4 rosas rojas, 6 claveles blancos y 5 rosas amarillas.

Uso de GCF para factorizar trinomios

Un trinomio tiene tres términos compuestos por números, variables o el producto de números y variables que se suman o se restan. Podemos factorizar trinomios si tienen un MCD.

Ejemplo 1:

Factor:

Ya hemos encontrado el MCD de los números 16, 24 y 20, que es 4. Ahora, veamos las variables. Podemos escribir cada variable el número de veces que se multiplica.

¿Cuántas variables tenemos en común?

Podemos tomar como máximo dos x de cada uno de los términos del trinomio porque el exponente más pequeño es dos.

El GCF es:

Conocer el GCF es solo la mitad de la batalla del factoring. Para factorizar, necesitamos sacar el MCD y escribir lo que queda.

Empezamos con el primer trimestre. 16 dividido entre 4 es 4, y teníamos cinco x pero estamos sacando dos x, por lo que quedan tres. Para el segundo término, -24 dividido por 4 es -6, y teníamos cuatro x, pero estamos sacando dos x, por lo que quedan dos. Para el último término, 20 dividido por 4 es 5, y teníamos dos x, pero sacamos dos, por lo que no nos quedan x.

Note que, si tuviéramos que distribuir, el lado derecho es igual al lado izquierdo. Distribuir significa multiplicar todo lo que está dentro del paréntesis por lo que está fuera del paréntesis. Cuando factorizas un trinomio, tu expresión debe ser igual al problema original.

Ejemplo 2:

Factor:

Primero, comencemos con los números 5, 15 y 20.

El MCD de 5, 15 y 20 es 5.

Ahora, veamos las variables.

El MCD de las variables es x. Observe cómo el exponente más pequeño de las variables es 1, por lo que podemos sacar 1 x. El MCD del trinomio es 5x.

Ahora, vamos a factorizar el trinomio dividiéndolo por su MCD de 5x.

Empezamos con el primer trimestre. 5 dividido entre 5 es 1, y teníamos cuatro x, pero estamos sacando una x, por lo que quedan tres. Para el segundo término, -15 dividido por 5 es -3, y teníamos tres x, pero sacamos una x, por lo que quedan dos. Para el último término, 20 dividido entre 5 es 4, y teníamos una x, pero sacamos una x, por lo que no nos quedan x.

Resumen de la lección

El máximo común divisor (MCD) es el número más grande que divide exactamente dos o más números. Para encontrar el MCD de un conjunto de números, simplemente enumeramos todos los factores de los números y luego encontramos el número más grande que sea el mismo para todos los números. Para encontrar el MCD de variables, podemos escribir la variable y marcar con un círculo cuántas tenemos en común. Recuerde, el exponente más pequeño será el MCD de las variables.

Un trinomio tiene tres términos compuestos por números, variables o el producto de números y variables que se suman o se restan. Para factorizar trinomios, primero encuentre el MCD, luego divida el problema original por el MCD, luego escriba el resultado entre paréntesis junto al MCD. Para comprobar su respuesta, puede distribuir el MCD a los términos entre paréntesis y el resultado debería ser el problema original.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador