Ecuaciones cuadráticas y raíces
Dato interesante: cuando se lanza una pelota al aire, su trayectoria se puede modelar mediante una ecuación cuadrática. Esto significa que puede usar la ecuación para determinar diferentes cosas sobre el camino que toma la pelota. No solo eso, sino que también puede determinar cuánto tiempo tardará la pelota en golpear el suelo.
Una ecuación cuadrática es una ecuación donde el mayor exponente de cualquier variable es 2:
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La mayoría de las veces, escribimos una ecuación cuadrática en la forma a x 2 + b x + c = 0, y los valores de x que hacen que la ecuación sea verdadera se llaman raíces de la ecuación. Las ecuaciones cuadráticas tienen 2 raíces; puedes recordar esto porque el exponente más alto de x también es 2.
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Volvamos a nuestro hecho interesante. Supongamos que estamos parados en la parte superior de un podio que mide 5 pies de alto y lanzamos una pelota al aire.
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Su trayectoria se puede modelar usando la ecuación y = – x 2 + 4 x + 5, donde y representa la altura de la pelota sobre el suelo en x segundos. ¿Alguna idea sobre cómo podríamos saber cuándo la pelota golpea el suelo? En otras palabras, ¿cuánto tiempo está la pelota en el aire?
Vamos a pensarlo. Dado que y representa la altura de la pelota sobre el suelo, debería darse el caso de que cuando la pelota golpee el suelo, y sería 0. ¡Ah, ja! ¡Tengo una idea! Ingresemos cero en nuestra ecuación para y , ya que es entonces cuando la pelota golpeará el suelo:
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– x 2 + 4 x + 5 = 0
¡Excelente! Ahora, si podemos averiguar qué valores de x hacen que esto sea cierto o, en otras palabras, si podemos encontrar las raíces de la ecuación, entonces sabremos en qué momento la pelota golpeará el suelo. Veamos una forma de encontrar estas raíces.
La fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática es una fórmula que podemos usar para encontrar las raíces de la ecuación cuadrática a x 2 + b x + c = 0.
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Para usar la fórmula cuadrática para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática, todo lo que tenemos que hacer es obtener nuestra ecuación cuadrática en la forma a x 2 + b x + c = 0; identificar un , b , y c ; y luego conéctelos a la fórmula. Para identificar estos valores, recordemos que a está delante de x 2 , b está delante de x y c es el número en sí mismo.
Por ejemplo, en nuestra ecuación – x 2 + 4 x + 5 = 0, el número delante de x 2 es -1, entonces a = -1. El número delante de x es 4, entonces b = 4. Por último, el número por sí solo es 5, entonces c = 5. ¡Ya casi llegamos! Todo lo que tenemos que hacer es insertar estos valores en nuestra fórmula cuadrática, y luego podemos encontrar los valores de x que hacen que nuestra ecuación sea verdadera. Entonces sabremos cuánto tiempo tarda la pelota en golpear el suelo. ¡Vamos a conectarnos!
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Vemos que la pelota está a la altura 0 cuando x = -1 y cuando x = 5. En nuestro caso, podemos ignorar la x = -1. Aunque es cierto que x = -1 es una raíz de la ecuación, sabemos que x representa el tiempo y no podemos tener -1 segundos. La única razón por la que esto aparece de esta manera es porque cuando inicialmente lanzamos la pelota a los 0 segundos, estábamos a una altura de 5 pies sobre el suelo.
Ya que descartamos la respuesta x = -1, eso deja x = 5 como la solución a nuestro problema particular. Esto nos dice que la pelota golpeó el suelo 5 segundos después de que la lanzamos, por lo que estuvo en el aire durante 5 segundos. ¿No es genial que pudiéramos resolver eso usando nuestra fórmula cuadrática?
Otro ejemplo
Veamos un ejemplo más. Supongamos que estamos haciendo una manualidad con un marco. Según los materiales que tenemos disponibles, el área del marco se puede representar mediante la ecuación A = x 2 + 2 x , donde A es el área del marco y x es el ancho del marco. Queremos que nuestra área sea de 24 pulgadas 2 , por lo que solo necesitamos encontrar el ancho que hace que este sea el caso.
Para hacer esto, conectamos 24 para que A obtenga
x 2 + 2 x = 24
Restamos 24 de ambos lados para obtener nuestra ecuación en la forma correcta:
x 2 + 2 x – 24 = 0
Ahora queremos identificar un , b , y c basado en los números delante de la x 2 , x , y por sí misma, respectivamente. Por lo tanto, tenemos a = 1, b = 2 y c = -24. Todo lo que tenemos que hacer ahora es conectarlos a nuestra fórmula cuadrática:
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Vemos que el ancho es 4 o -6. Dado que no podemos tener un ancho negativo, debe darse el caso de que el ancho debe ser 4 para tener un área de 24 pulgadas 2 .
Resumen de la lección
Una ecuación cuadrática es una ecuación en la que el exponente más alto de cualquier variable es 2. Las soluciones de las ecuaciones cuadráticas se llaman raíces . Las ecuaciones cuadráticas tienen 2 raíces. Podemos encontrar las raíces de una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática:
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Para usar esto, ponemos la ecuación en la forma a x 2 + b x + c = 0; identificar un , b , y c ; y luego ingrese esos valores en la fórmula.
Las ecuaciones cuadráticas se utilizan todo el tiempo para modelar fenómenos del mundo real, por lo que es extremadamente útil saber cómo resolver estas ecuaciones. ¡La fórmula cuadrática es una herramienta imprescindible para agregar a su caja de herramientas matemáticas!
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