Ecuaciones con relaciones angulares
Hay algunas mezclas de jugos realmente deliciosas, como la naranja y el mango. ¿Qué tal melocotón y limón? De acuerdo, quizás no tan delicioso. Bueno, ¿qué tal una mezcla de álgebra y geometría?
De hecho, se produce una muy buena combinación de álgebra y geometría cuando identificamos relaciones de ángulos geométricos y luego expresamos incógnitas usando ecuaciones algebraicas. Las relaciones de ángulos que veremos son ángulos suplementarios, ángulos complementarios y ángulos verticales.
Ángulos suplementarios
Para comenzar esta deliciosa mezcla, miraremos una línea recta y notaremos cómo es una rotación de 180 o .
 |
¿Cómo son las relaciones entre España y Estados Unidos?
Hecho: Los ángulos suplementarios suman 180 o .
Esto significa que si conocemos uno de los dos ángulos suplementarios , podemos calcular fácilmente el otro. En este ejemplo, los ángulos de 150 o y x son suplementarios.
 |
Entonces 150 + x = 180. Es decir, el ángulo x = 30 o .
Cambiemos la orientación de la línea recta y hagamos que el ángulo desconocido sea una expresión algebraica.
 |
Los pasos para resolver x :
- Identifica la relación de los ángulos:
Hay una línea recta y vemos que 150 o y 2 x son ángulos suplementarios.
- Escribe una ecuación:
150 + 2 x = 180; (los ángulos suplementarios suman 180 o )
Cohabitación: Qué es, Características y Ejemplos
- Resuelve lo desconocido
150 + 2 x – 150 = 180 – 150; (restando 150 de ambos lados)
2 x = 30; (simplificando)
2 x / 2 = 30/2; (dividiendo ambos lados por 2)
x = 15; (simplificando)
Por lo tanto, x = 15 y el ángulo desconocido es 2 x = 30 o .
¿Qué pasa si la línea recta está en una posición no estándar y hay más líneas?
 |
Los pasos siguen siendo los mismos:
- Identifica la relación de los ángulos:
Los ángulos de 60 o y 4 x son suplementarios.
- Escribe una ecuación:
4 x + 60 = 180; (los ángulos suplementarios suman 180 o )
- Resuelve lo desconocido:
4 x + 60 – 60 = 180 – 60; (restar 60 de ambos lados)
4 x = 120; (simplificar)
4 x / 4 = 120/4; (divide ambos lados entre 4)
x = 30; (simplificar)
Por lo tanto, x = 30 y el ángulo desconocido es 4 x = 120 o .
Continuando con nuestra mezcla de geometría y álgebra, observamos la relación de ángulos complementarios.
Ángulos complementarios
Un pequeño cuadrado en una figura indica un ángulo de 90 ° .
Hecho: Los ángulos complementarios suman 90 o .
 |
Ver un pequeño cuadrado en una figura es una pista para buscar ángulos complementarios .
 |
Vemos que x y 50 o son complementarios. Entonces, x = 40 o . Veamos un problema un poco más complicado.
 |
Usando los pasos:
- Identifica la relación de los ángulos:
Los ángulos de 35 o y 2 x – 5 son complementarios.
- Escribe una ecuación:
2 x – 5 + 35 = 90; (los ángulos complementarios suman 90 o )
- Resuelve lo desconocido:
2 x + 30 = 90; (-5 + 35 es igual a 30)
2 x + 30 – 30 = 90 – 30; (reste 30 de ambos lados)
2 x = 60; (simplificar)
2 x / 2 = 60/2; (divide ambos lados por 2)
x = 30; (simplificar)
Por tanto, x = 30 y el ángulo desconocido es 2 x – 5 = 55 o .
Hay una relación de ángulo más jugosa para mirar.
Ángulos verticales
Cuando dos líneas se cruzan, las líneas forman pares de ángulos iguales. Un par se ve así:
 |
Las mismas líneas cruzadas también forman otro par igual:
 |
Estos tipos de ángulos se denominan ángulos verticales .
Hecho: Los ángulos verticales son los ángulos opuestos entre sí cuando se cruzan dos líneas. Estos ángulos son congruentes . Se dice que los ángulos que son iguales son congruentes.
Por ejemplo, encuentre el ángulo etiquetado x :
 |
Dos líneas de cruce crean ángulos verticales. Entonces, x = 35 o .
Un ejemplo de repaso: En la siguiente figura, encuentre los valores para x , y y z .
 |
En primer lugar, esta figura parece tener letras por todas partes. Todos los lugares excepto donde las líneas se encuentran en el origen. Nos referiremos a este lugar como «O».
Recordando el Paso 1: Identifica la relación de los ángulos. Vemos un ángulo recto en AOE. Esta abreviatura, » AOE », significa que el vértice está en O y el ángulo está formado por los segmentos de línea AO y OE. Puede haber una relación de ángulo complementario que podamos usar. Los ángulos x en EOF y 20 o son complementarios. Por lo tanto, x + 20 = 90, ¡y listo!
x = 70 o .
¿Qué hay de los ángulos verticales? Busque líneas que se crucen. Seguro, la línea AD cruza la línea CF. Los ángulos opuestos son iguales. Por tanto, y en COD es igual a 20 o .
¿Ves la línea AD? La relación de ángulos a identificar son ángulos suplementarios que suman 180 o . Así,
y + z + (5 y + 10) = 180, y ahora sustituimos y resolvemos.
20 + z + 5 (20) + 10 = 180; habiendo sustituido 20 por y
130 + z = 180; habiendo combinado 20 + 5 (20) + 10 para dar 20 + 100 + 10, que es 130
z = 50 o ; habiendo restado 130 de ambos lados
¿Ves cómo una figura geométrica de aspecto complicado se puede resolver usando relaciones de ángulos y álgebra?
Por tanto, se ha respondido a la pregunta de cómo mezclar geometría y álgebra. Ahora, podemos volver a buscar una mezcla alternativa para melocotones y limones.
Resumen de la lección
Usando álgebra y relaciones de ángulos, podemos resolver variables desconocidas y ángulos desconocidos. Primero, debemos identificar la relación de los ángulos. A continuación, debemos escribir una ecuación. Luego resolvemos lo desconocido y simplificamos. Las relaciones de ángulos incluyen:
- Los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180 o .
- Los ángulos complementarios son los que suman 90 o .
- Los ángulos verticales son los ángulos opuestos entre sí cuando se cruzan dos líneas. Estos ángulos son iguales. Los ángulos congruentes son iguales.
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
