Funciones de cambio
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No es un primer plano extremo de un suéter de temática náutica, aunque es una buena suposición. ¡Es una función, junto con algunos de sus amigos más cercanos! Específicamente, este patrón se compone de varias funciones lineales , o funciones donde la gráfica es una línea recta.
Mire el mismo patrón nuevamente, esta vez en un gráfico. Con solo mirar este gráfico, puede ver que hay algo similar en todas estas funciones. Si está realmente al tanto de su tarea de matemáticas, puede señalarla como pendiente: todas estas funciones tienen la misma pendiente, pero tienen diferentes intersecciones en y. Esto se debe a que todas estas líneas diferentes son realmente la misma línea, pero se desplazan hacia arriba y hacia abajo en diferentes lugares del gráfico. Esto es lo que llamamos un cambio en la función: una transformación que la mueve a otro lugar en el gráfico sin cambiar su forma básica.
En esta lección, aprenderá cómo funciona esto y cómo hacerlo con todo tipo de funciones lineales.
Desplazamientos verticales
En primer lugar, hablemos de cambios verticales o cambios a lo largo del eje y. Estas son transformaciones que mueven una función hacia arriba o hacia abajo en el eje y, sin cambiar nada más sobre ella.
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Cuando desplazas una función verticalmente, obtienes una nueva función con la misma pendiente pero una intersección en y diferente. En la ecuación
y = mx + b
que es la ecuación para una función lineal, esto está representado por un cambio en b .
Por ejemplo, tome dos funciones:
Función 1: y = 2 x + 1
Función 2: y = 2 x + 3
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La función 2 se verá exactamente como la función 1, excepto que se desplazará 2 unidades hacia arriba en el eje y, por lo que la intersección y de la función 2 estará en y = 3 en lugar de y = 1.
Por cada 1 que agregue ab , la función se moverá 1 unidad hacia arriba en el eje y . Por cada 1 que resta de b , la función bajará 1 unidad.
Desplazamientos horizontales
Pero, ¿y si no quieres un cambio vertical? ¿Y si quieres un cambio horizontal?
Un desplazamiento horizontal es un desplazamiento a lo largo del eje x. En lugar de moverse hacia arriba y hacia abajo, la función se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha. El resultado de cada movimiento es una nueva función con la misma pendiente, pero movida a un punto diferente en el eje x. Si desea expresar esto en la ecuación de una línea, es un poco más complicado que los cambios verticales. Para que suceda un cambio horizontal, no debe sumar ni restar nada de b . En cambio, sumas o restas del valor de x antes de multiplicar por la pendiente.
Si tienes una función original
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f ( x ) = 2 x + 5
luego lo desplaza horizontalmente modificando el valor de x, por ejemplo, f ( x ) = 2 ( x + 1) + 5. En lugar de multiplicar x por 2, ahora está multiplicando ( x + 1) por 2.
Sumar 1 al valor x desplaza la función a la izquierda en 1 unidad, y restar 1 del valor x desplaza la función a la derecha en 1 unidad.
¡Pero espera solo un segundo al rojo vivo! Eche un vistazo a esa ecuación de nuevo. Si multiplicas la ecuación del desplazamiento horizontal y luego combinas términos semejantes, terminas con … ¿un desplazamiento vertical? ¿Qué? Y si grafica esas dos líneas, ¡los cambios horizontal y vertical se ven iguales! ¿Que está pasando aqui?
Ésta es una propiedad especial de las funciones lineales únicamente. Piense en cómo multiplicar por 1 y dividir por 1 le da exactamente la misma respuesta. Eso no significa que la multiplicación y la división sean lo mismo, solo que el número 1 es un caso especial.
Los cambios horizontales a una función lineal también se pueden escribir como cambios verticales, pero tenga cuidado aquí: tenga en cuenta que (en este ejemplo) un cambio horizontal de 1 unidad es equivalente a un cambio vertical de 2 unidades, porque el cambio en la intersección con el eje y es 2. Puede escribir un desplazamiento horizontal como un desplazamiento vertical, pero no puede simplemente usar el mismo número y terminarlo; tienes que multiplicar todo y averiguar qué desplazamiento vertical corresponde al desplazamiento horizontal dado.
Cuando llegue a las funciones no lineales, comenzará a ver que los gráficos se ven diferentes, y luego es importante comprender las diferencias entre los cambios horizontales y verticales. Por ahora, solo aprenda el concepto y practique las funciones lineales para simplificar los números, y podrá saltar directamente a las funciones no lineales sin problemas cuando llegue el momento.
Resumen de la lección
En esta lección, aprendió sobre los cambios horizontales y verticales en funciones lineales.
Un desplazamiento vertical es un movimiento hacia arriba o hacia abajo del eje y, y está representado por un cambio en el valor de la intersección con el eje y.
Un desplazamiento horizontal es un movimiento hacia la izquierda o hacia la derecha a lo largo del eje x, y en la ecuación de una función es un cambio en el valor de x antes de multiplicarlo por la pendiente.
Para funciones lineales, los cambios horizontales también se pueden escribir como cambios verticales, aunque el cambio ax no siempre es el mismo que el cambio en la intersección con el eje y. Pero eso no significa que los cambios horizontales y verticales sean lo mismo; comenzarán a verse muy diferentes una vez que se adentre en las funciones no lineales, y es importante comprender que son conceptos diferentes.
Descripción general de los cambios horizontales y verticales de funciones lineales
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| Funciones lineales | funciones en las que la gráfica es una línea recta |
| Cambio | una transformación que mueve una función a otro lugar en el gráfico sin cambiar su forma básica |
| Desplazamientos verticales | transformaciones que mueven una función hacia arriba o hacia abajo en el eje y sin cambiar nada más al respecto |
| Desplazamiento horizontal | un desplazamiento a lo largo del eje x; en lugar de moverse hacia arriba y hacia abajo, la función se mueve hacia la izquierda y hacia la derecha |
Los resultados del aprendizaje
Consulte esta lección para aprender o volver a aprender información sobre los cambios horizontales y verticales de funciones lineales, luego:
- Describe funciones lineales
- Reconocer el significado de un cambio
- Contraste de cambios verticales y horizontales
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