Cómo escribir funciones cuadráticas

Una función cuadrática

Esta lección trata sobre la escritura de funciones cuadráticas. Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. Entonces, y = x ^ 2 es una ecuación cuadrática, al igual que y = 3x ^ 2 + x + 1. Todas estas son funciones polinomiales de grado 2. A menudo se le dará la función cuadrática para un problema particular. Se le proporcionarán varios puntos de datos o un gráfico que aproxima todos los puntos de datos combinados. Luego, es su trabajo crear una función cuadrática que se ajuste a la información proporcionada. Sigamos adelante y veamos cómo podemos hacer esto.

Dado un gráfico

Comencemos escribiendo la función cuadrática dada una gráfica. Digamos que tenemos este gráfico para trabajar. Antes de que podamos comenzar a escribir nuestra función cuadrática, necesitamos averiguar la ubicación del vértice, o punta de la cuadrática, junto con otro punto. Mirando nuestro gráfico, vemos que nuestro vértice, nuestra punta, está en (0, -1). El otro punto que podemos ver fácilmente es (0.5, 0). Habiendo encontrado estos dos puntos, ahora podemos continuar. Usaremos la forma de vértice de la función cuadrática, que es:

F (x) = a (xh) ^ 2 + k

Donde a es una constante yh y k son los valores xey del vértice (h, k). Recuerde, nuestra ‘f (x)’ es lo mismo que ‘y’. Los pasos son los siguientes:

1. Reemplaza los valores de vértice de h y k en la forma de vértice de la función cuadrática y simplifica

2. Ahora, inserta los valores xey del otro punto en la función cuadrática simplificada del paso 1

3. Resuelve para

4. Ahora, ingrese el valor a en la función cuadrática simplificada del paso 1. Esta es su función cuadrática

Probemos ahora: nuestro vértice es (0, -1) y nuestro otro punto es (0.5, 0). Esto significa que nuestra h = 0, k = -1, x = 0.5, y = 0. Así que comenzamos reemplazando nuestros valores de hy k. Obtenemos esto:

Y = a (x-0) ^ 2 – 1

Simplificando esto obtenemos:

Y = ax ^ 2 – 1

Ahora conectamos nuestra xey; recuerde que nuestra f (x) es la misma que y. Entonces obtenemos:

0 = a (0.5) ^ 2 – 1

Resolviendo para a, obtenemos esto:

0 = a (0,25) – 1

1 = 0,25a

4 = a

Conectando este valor a nuestra función, y = ax ^ 2 – 1, obtenemos:

Y = 4x ^ 2 – 1

Esta función entonces es nuestra respuesta.

Dados tres puntos

Ahora veamos cuáles son los pasos cuando se nos dan tres puntos en lugar de la gráfica. Digamos que nuestro problema es así: escribe la función cuadrática para la gráfica que pasa por los puntos (-2,1), (-4,4) y (2,1). Para escribir la función cuadrática para este problema, necesitamos usar la forma general de la función cuadrática, que es:

F (x) = ax ^ 2 + bx + c

Donde a, byc son constantes. Nuevamente, recuerde que nuestra f (x) es la misma que y. Lo que vamos a hacer es crear un sistema de tres ecuaciones que usaremos para resolver nuestras tres constantes desconocidas, a, by c. Los pasos son los siguientes:

1. Inserte los valores de xey en la forma general de la función cuadrática y simplifique. Así que esto para los tres puntos para obtener una ecuación para cada punto. Deberías tener tres ecuaciones.

2. Resuelve este sistema de tres ecuaciones con sustitución o eliminación.

3. Reemplaza los valores encontrados para a, byc en la forma general de la función cuadrática. Simplifica para encontrar tu función cuadrática que pasa por los tres puntos dados.

¡Probémoslo! Nuestros tres puntos son (-2,1), (-4,4) y (2,1). Conectando estos puntos en la forma general y simplificando, obtenemos estas tres ecuaciones:

Para el punto (-2,1) tenemos 1 = a (-2) ^ 2 + b (-2) + c, que se simplifica a:

1 = 4a – 2b + c

Para el punto (-4,4), tenemos 4 = a (-4) ^ 2 + b (-4) + c, que se simplifica a:

4 = 16a – 4b + c

Para el punto (2,1), 1 = a (2) ^ 2 + b (2) + c, que se simplifica a:

1 = 4a + 2b + c

Ahora, tomando estas tres ecuaciones y resolviendo el sistema por eliminación, obtenemos esto:

Podemos restar 1 = 4a – 2b + c de 4 = 16a – 4b + c para eliminar la variable c. Obtenemos:

4 = 16a – 4b + c – 1 = 4a – 2b + c =

3 = 12a – 2b

Usando un par de ecuaciones diferente, eliminaremos nuevamente la variable c. Esta vez restaremos:

1 = 4a + 2b + c de 1 = 4a – 2b + c. Obtenemos:

1 = 4a – 2b + c – 1 = 4a + 2b + c =

(0 = 0a – 4b) Esto se simplifica a:

0 = -4b

Dado que la última ecuación que obtuvimos 0 = -4b solo tiene una variable, podemos continuar y resolver esta ecuación para esa variable. Si esta ecuación tuviera dos variables, entonces usaríamos la otra ecuación, 3 = 12a – 2b en combinación con esta ecuación para ayudarnos a resolver para ay b.

Dado que este no es el caso, podemos continuar y resolver 0 = -4b para la variable b. Obtenemos:

b = 0

Ahora sabemos qué es igual a b. Ahora podemos insertar este valor en la ecuación 3 = 12a – 2b y resolver para a. Obtenemos:

3 = 12a – 2 (0)

3 = 12a

a = 3/12

a = ¼

Ahora tenemos a = ¼ yb = 0. Ahora podemos usar estos dos valores y conectarlos a cualquiera de las tres ecuaciones que escribimos primero. Conectemos estos valores ayb en la ecuación:

1 = 4a + 2b + c

Obtenemos:

1 = 4 (1/4) + 2 (0) + c

1 = 1 + c

c = 0

Ahora hemos resuelto todas nuestras variables. Nuestro a = ¼, nuestro b = 0 y nuestro c = 0. Reemplazando estos en nuestra forma general y simplificando, obtenemos nuestra función cuadrática:

Y = ax ^ 2 + bx + c

Y = 1 / 4x ^ 2 + 0 (x) +0

Y = 1 / 4x ^ 2

Ejemplo

Veamos un ejemplo más. Escribe la función cuadrática para la gráfica que pasa por los puntos (-1,0), (0, -1) y (1,0), donde (0, -1) es el vértice. Al leer este problema, vemos que se nos dan tres puntos y también nos dice que -1 es el vértice. Hmmm … en realidad podemos usar cualquier método. Hagamos el método que usa la forma de vértice de la función cuadrática. Tiene menos pasos y será más corto y rápido de resolver.

Dado que nuestro vértice es (0, -1), nuestra h = 0 y nuestra k = -1, podemos usar cualquier otro punto para nuestro segundo punto. Elijamos (1,0). Entonces nuestra x = 1 y nuestra y = 0. Entonces, conectamos nuestra h y k primero en la forma de vértice y luego simplificamos. Obtenemos:

Y = a (x-0) ^ 2 – 1. Simplificando esto obtenemos:

Y = a (x) ^ 2 – 1

Ahora conectando 1 para x y 0 para y, podemos resolver para a.

0 = a (1) ^ 2 – 1

0 = a – 1

a = 1

Ahora que tenemos a, podemos reemplazar este valor en y = a (x) ^ 2 – 1 para encontrar nuestra función cuadrática, obtenemos esto:

Y = (1) x ^ 2 – 1

Y = x ^ 2-1

¡Y hemos terminado!

Resumen de la lección

¡Repasemos lo que hemos aprendido! Una función cuadrática es una función polinomial de grado 2. La forma de vértice de la función cuadrática es:

F (x) = a (x – h) ^ 2 + k, donde a es una constante y h y k son los valores xey del vértice (h, k).

Para escribir la función cuadrática cuando conoce el vértice y otro punto, siga estos pasos:

1. Reemplaza los valores de vértice de h y k en la forma de vértice de la función cuadrática y simplifica

2. Ahora inserta los valores xey del otro punto en la función cuadrática simplificada del paso 1

3. Resuelve para

4. Ahora, inserte el valor a en la función cuadrática simplificada del paso 1. Esta es su función cuadrática.

La forma general de la función cuadrática es:

F (x) = ax ^ 2 + bx + c, donde a, b y c son constantes.

Para escribir la función cuadrática cuando se le dan tres puntos, siga estos pasos:

1. Inserte los valores de xey en la forma general de la función cuadrática y simplifique. Haga esto para los tres puntos para obtener una ecuación para cada punto. Deberías tener tres ecuaciones.

2. Resuelve este sistema de tres ecuaciones con sustitución o eliminación.

3. Inserta los valores encontrados para a, byc en la forma general de la función cuadrática. Simplifica para encontrar nuestra función cuadrática que pasa por los tres puntos dados.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador