Identidades de medio ángulo: usos y aplicaciones

Identidades de medio ángulo

En esta lección en video, cubrimos las identidades de medio ángulo de la trigonometría, que son los enunciados verdaderos para los medios ángulos. Estas son definiciones, por así decirlo. En otras palabras, le dicen a qué equivale una función trigonométrica en particular. Puede ver aquí que toman una función trigonométrica al cuadrado y la convierten en una función trigonométrica sin exponentes:

Tenemos un medio ángulo para cada una de nuestras tres funciones trigonométricas básicas. Tenemos uno para el seno, uno para el coseno y otro para la tangente. Como puede ver, nuestro ángulo se ha reducido a la mitad, de ahí el nombre de identidad de medio ángulo. En el lado izquierdo, nuestra función trigonométrica está al cuadrado, y en el derecho, vemos la declaración equivalente en términos de coseno sin exponentes. Además, el ángulo del lado derecho ya no se divide por la mitad.

Usos y aplicaciones

Entonces, ¿qué puedes hacer con estas identidades? Usamos estas identidades cuando necesitamos ayuda para simplificar una función trigonométrica. Cuando tenemos una función trigonométrica al cuadrado, a veces es difícil trabajar con matemáticas superiores. Entonces, si lo convertimos en un enunciado equivalente sin exponentes, nos ayudará a resolver el problema mucho más fácilmente.

Puede pensar en estas identidades trigonométricas de medio ángulo como una clave que le ayuda a decodificar o simplificar un problema más complicado. Sin esta clave, es posible que no pueda resolver el problema en absoluto. Pero con la clave, puede encontrar el camino hacia la respuesta. Además, estas identidades se utilizan para probar otras identidades o declaraciones trigonométricas. Veamos ahora un par de ejemplos para ver qué podemos hacer con estas identidades trigonométricas.

Ejemplo 1

Este problema nos pide que escribamos esta función trigonométrica sin exponentes:

A primera vista, podríamos pensar que este problema ya es lo más simple posible. Solo tiene una función: la función seno. Pero el problema quiere que lo escribamos de modo que no tengamos el cuadrado. ¿Cómo podemos hacer eso?

Bueno, miramos el ángulo y notamos que nuestro ángulo se reduce a la mitad. ¡Ah! Podemos ver si podemos usar una de nuestras identidades de medio ángulo. Miramos nuestra lista. ¡Oh mira! Aquí, tenemos una función de seno al cuadrado que es igual a algo sin exponentes. Podemos usar ese para obtener nuestra respuesta:

Y ahí tenemos nuestra respuesta sin exponentes. Este problema era un problema bastante directo con una respuesta directa simple. Veamos otro problema.

Ejemplo 2

Ahora, nuestro problema es pedirnos que probemos esta declaración trigonométrica:

Para probar un enunciado como éste, comenzaremos por el lado izquierdo, ya que ese es el lado más complicado. Dejaremos el lado derecho solo. Lo que intentaremos hacer es simplificar el lado izquierdo para que se convierta en el lado derecho. Vamos a empezar. Primero, vemos que tenemos una función de coseno al cuadrado de un medio ángulo. Podemos usar una de nuestras identidades y hacer esa sustitución. Obtenemos esto:

Bueno. Ahora podemos ver si podemos cancelar algo o simplificar esto aún más. Vemos que tenemos un 2 dividido por un 2. Estos se anulan entre sí. Eso nos deja con 1 + cos ( x ) – cos ( x ). Tenemos un coseno positivo y un coseno negativo. ¿No suman 0? ¡Ellas hacen! ¿Entonces, qué nos queda? Nos quedamos con 1. Eso es exactamente lo que estábamos buscando. Nuestra respuesta final es toda nuestra cadena de cálculos que termina con nuestro número deseado de 1:

Resumen de la lección

Bien, repasemos lo que hemos aprendido ahora. Las identidades de medio ángulo son los enunciados verdaderos para los medios ángulos, o definiciones, por así decirlo. Tenemos tres de ellos: uno para seno, uno para coseno y uno para tangente.

Estas identidades se utilizan para ayudarnos a probar otras declaraciones o identidades trigonométricas, así como para ayudarnos a simplificar nuestros problemas trigonométricos más complicados. Usamos estas identidades y las sustituimos en nuestros problemas para obtener nuestras respuestas.

Los resultados del aprendizaje

Cuando termine esta lección en video, tómese el tiempo para ver si puede:

• Cuente la definición de identidades de medio ángulo
• Identificar las tres identidades de medio ángulo
• Utilice estas identidades para facilitar el proceso de resolución de problemas y para probar las identidades de trigonometría.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador