Forma de vértice: ecuaciones y funciones

Forma de vértice

Una ecuación cuadrática se puede escribir como ax 2 + bx + c = 0, siempre que a no sea igual a 0. Generalmente vemos esta forma, conocida como forma estándar, porque se usa para más de un método de resolver ecuaciones cuadráticas. En esta lección, sin embargo, veremos la forma de vértice , que se escribe como a ( x – h ) 2 + k. Podemos hacer un buen uso de este formato para graficar funciones cuadráticas.

Vértice de una función cuadrática

Grafiquemos la función asociada con una ecuación cuadrática: f ‘(x) = ax 2 + bx + c o y = ax 2 + bx + c .

Específicamente, podemos usar y = 3 x 2 + 6 x + 1 como ejemplo.

Observe que el punto en (-1, -2) es el punto más bajo de la gráfica. Esto es lo que llamamos vértice . También podemos encontrar las coordenadas del vértice a partir de la ecuación en sí, usando esta fórmula: x = -b / 2 a .

En este caso, x = -6/2 (3) = -6/6 = -1. ¡Oye, funciona! Ahora que sabemos que x es -1, podemos determinar que y = 3 (-1) 2 + 6 (-1) + 1 = 3 (1) + (-6) + 1 = 3-6 + 1 = – 3 + 1 = -2. Entonces, está nuestro (-1, -2). Esto significa que no tenemos que graficar la ecuación para encontrar el vértice.

Conversión hacia y desde la forma de vértice

Tomemos la ecuación en forma estándar con la que ya hemos estado trabajando:

y = 3 x 2 + 6 x + 1

Ya encontramos que el vértice es (-1, -2).

La forma del vértice se verá así:

a ( x – h ) 2 + k

La a será la misma que en la forma estándar, por lo que tenemos:

y = 3 ( x – h ) 2 + k

Bueno, resulta que la coordenada x (nuestro -1) es nuestra h , y la coordenada y (nuestro -2) es la k . Eso nos da:

y = 3 ( x – (-1)) 2 + (-2), que es y = 3 ( x + 1) 2 – 2

Por lo tanto, usamos este método para convertir de forma estándar a forma de vértice:

• Encuentre la coordenada x usando la fórmula x = – b / 2 a
• Encuentre la coordenada y evaluando f (x) = ax 2 + bx + c con nuestro valor para x
• Utilice la a de la forma estándar, la coordenada x para hy la coordenada y para k en y = a ( x – h ) 2 + k

Si queremos ir a otro lado, podemos simplemente multiplicar ( x – h ) por sí mismo, se multiplica ese resultado por una , y añadir k .

Por ejemplo:

3 ( x + 1) 2 – 2 = 3 ( x 2 + 2 x + 1) – 2 = 3 x 2 + 6 x + 3 – 2 = 3x 2 + 6 x + 1

Con eso comenzamos, entonces sabemos cómo convertir la forma estándar a la forma de vértice o la forma de vértice de nuevo a la forma estándar.

De la forma de vértice a la gráfica

Ahora tenemos una forma de vértice. Si queremos graficarlo, podemos configurar las cosas de forma sistemática:

• Use el vértice como uno de los puntos para trazar en el gráfico
• Intente usar algunos valores de x que sean menores que la coordenada x del vértice y algunos valores que sean mayores que la coordenada x del vértice
• Encuentre la coordenada y para cada valor de x
• Trace los puntos o introdúzcalos en un programa de gráficos

Probemos con un ejemplo diferente, como:

y = 2 ( x – 3) 2 + 1

Como en esta ecuación, 3 es h y 1 es k , el vértice es (3,1). Escojamos varios valores para x : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Si x es 0, entonces y = 2 (0 – 3) 2 + 1 = 2 (-3) 2 + 1 = 2 (9) + 1 = 18 + 1 = 19

Si x es 1, entonces y = 2 (1-3) 2 + 1 = 2 (-2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9

Si ‘x es 2, entonces y = 2 (2-3) 2 + 1 = 2 (-1) 2 + 1 = 2 (1) + 1 = 2 + 1 = 3

Si x es 3, ya sabemos que y es 1

Si x es 4, entonces y = 2 (4-3) 2 + 1 = 2 (1) 2 + 1 = 2 + 1 = 3

Oye, es como la respuesta para x = 2. Uno menos que el valor x del vértice da la misma respuesta que uno más que el valor x del vértice.

Si x es 5, entonces y = 2 (5-3) 2 + 1 = 2 (2) 2 + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9

¿Ves el patrón?

Si x es 6, entonces y = 2 (6 – 3) 2 + 1 = 2 (3) 2 + 1 = 2 (9) + 1 = 18 + 1 = 19

Así es como se ve cuando trazamos los puntos:

Resumen de la lección

La forma de vértice de una ecuación cuadrática hace que la representación gráfica sea relativamente fácil. Si estamos trabajando con el gráfico o el vértice , este es el formato a utilizar. Podemos convertir entre la forma de vértice y la forma estándar con relativa facilidad usando la fórmula: x = -b / 2 a .

Rodrigo Ricardo Editor y fundador