Usar relaciones inversas para resolver ecuaciones con potencias y raíces

Operaciones inversas

Tienes 30 dólares en tu billetera y generosamente dejas que tu amigo te preste cinco dólares para comer. Ella acaba de restar cinco dólares de esos 30, dejándote con 25 dólares. Para volver a esa cantidad total de 30, espere hasta que ella le devuelva el dinero. En otras palabras, ¡agregará cinco dólares a los 25 en su billetera y tendrá los 30 dólares originales! Este proceso de pedir prestado y devolver el dinero muestra los conceptos básicos de las operaciones inversas.

Las operaciones inversas son operaciones que se pueden deshacer entre sí. En nuestro ejemplo, vimos cómo la resta de cinco dólares se deshacía con la suma de cinco dólares. Por tanto, la suma y la resta son operaciones inversas. De manera similar, la multiplicación y la división son operaciones inversas. Si divide 100 por 20, obtiene 5. Para volver a 100, simplemente multiplique ese 5 por 20.

Poderes y raíces

Las potencias , o exponentes, son superíndices que te dicen cuántas veces debes multiplicar un número por sí mismo. Por ejemplo, 4 elevado a la quinta potencia te dice que debes multiplicar 4 por sí mismo 5 veces. Esto será 4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1,024.

¡Las raíces son exactamente lo contrario! Las raíces te dicen que encuentres ese número original que se multiplicó por sí mismo. Por ejemplo, puedo sacar el cuadrado o la segunda raíz de 16 para obtener 4. Esto se debe a que quiero encontrar el número que se puede multiplicar por sí mismo dos veces para dar 16.

Algunas personas no se dan cuenta de que los poderes y las raíces también son operaciones inversas. Si tomo 2 y lo elevo a la potencia de 3, obtengo 8. Si quiero volver a 2, ¡puedo tomar la raíz cúbica (tercera) de 8 para llegar allí!

Operaciones inversas

Primer ejemplo

Entonces, ahora la pregunta es ¿cómo podemos usar eso para resolver ecuaciones? Bueno, veamos un ejemplo simple para comenzar.

Primero necesitamos resolver la variable x . Para hacer esto, queremos obtener x por sí solo en el lado izquierdo de la ecuación. Para obtener x solo, debemos deshacernos del exponente de 4. ¡Aquí es donde entran nuestras operaciones inversas!

Para deshacernos de la cuarta potencia, debemos sacar la cuarta raíz de ambos lados. Cuando hacemos esto, la cuarta raíz cancelará la potencia de cuatro, por lo que solo queda x a la izquierda.

Luego sacamos la cuarta raíz de 4096 a la derecha, que es igual a 8.

¡Hurra! ¡Resolvimos la ecuación para que sea x igual a 8!

Segundo ejemplo

Ahora que entendemos los conceptos básicos, veamos una ecuación un poco más complicada con más pasos. Qué tal si:

Esta vez, tenemos x y + 3 debajo del radical y -1 afuera. La pregunta aquí es ¿de qué deshacerse primero, el +3, -1 o la raíz cúbica? Bueno, todavía no podemos restar 3 de ambos lados porque está debajo del radical. La regla general es deshacerse de todo lo que esté fuera del radical primero, luego del radical y, por último, de todo lo que estaba debajo del radical. Por lo tanto, comenzaremos agregando uno a ambos lados.

Luego, usaremos la potencia de tres para cancelar la raíz cúbica.

Por último, restaremos 3 para obtener nuestra respuesta.

Tercer ejemplo

¡Veamos un ejemplo más para asegurarnos de que lo entendimos!

Esta vez, tenemos x variables en ambos lados. Por lo tanto, debemos mover las variables x juntas y combinarlas. Haremos esto restando el término 2 x cuadrado de la derecha de ambos lados.

Ahora que solo tenemos un término con la variable x , procederemos siguiendo el orden de las operaciones al revés: suma y resta primero, multiplicación y división segundo, exponentes tercero y paréntesis al final. Esto significa que agregaremos el 14 a ambos lados a continuación.

Luego dividiremos ambos lados entre 2 y finalmente sacaremos la raíz cuadrada.

Resumen de la lección

Los poderes y las raíces son operaciones inversas, lo que significa que se deshacen entre sí. Se pueden usar al resolver una ecuación para una variable como x . Otras operaciones inversas incluyen la suma y la resta, así como la multiplicación y la división. Recuerda que al resolver una ecuación debes seguir el orden de las operaciones al revés. Además, elimine todo lo que esté fuera del radical primero, seguido de la raíz, y todo lo que esté dentro del radical al final.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador