Cómo resolver un sistema de ecuaciones por eliminación

Un sistema de ecuaciones

Está a punto de aprender a resolver un sistema de ecuaciones mediante el método de eliminación. Un sistema de ecuaciones es un problema matemático que incluye más de una ecuación que debes resolver. El método de eliminación es un método de solución en el que elimina variables para llegar a su solución. ¿Por qué debería aprender sobre este método? Saber cómo usar este método le dará una herramienta adicional de resolución de problemas para usar en sus pruebas de matemáticas y quizás en la vida real cuando se encuentre con este tipo de problemas. Esto es cierto especialmente si decide dedicarse a las ciencias para una carrera. Los científicos, ingenieros y matemáticos deben poder resolver todo tipo de problemas en el trabajo. Ser capaz de utilizar varios métodos de solución es una habilidad fundamental y necesaria.

El número de ecuaciones que tendrá en su sistema de ecuaciones está determinado por el número de variables que tiene. Tendrás una ecuación para cada variable. Entonces, si tiene tres variables, entonces tendrá tres ecuaciones, como en este problema:

2x + 2y – 2z = 2
-x + y + z = 3
y + z = 4

Note las tres ecuaciones y las tres variables. Ahora veamos cómo usar el método de eliminación para resolver este problema.

La eliminación

El nombre de este método le indica lo que debe hacer. Necesitas eliminar algo. ¿Qué es este algo? Es una variable o variables. Lo que haces es elegir una ecuación y elegir una variable para eliminar. El objetivo aquí es eliminar todas menos una de las variables en la ecuación elegida. Para eliminar su variable o variables, sume dos de sus ecuaciones. También es posible que tengas que multiplicar tus ecuaciones por un número para que cuando sumes las ecuaciones, la variable a eliminar se elimine realmente. Una vez que tenga una ecuación con una sola variable, puede resolver esa variable. Continúa este proceso de eliminación nuevamente hasta que haya resuelto todas sus variables.

Al observar sus ecuaciones, verá que si multiplica su segunda ecuación por 2, puede agregarla a la primera ecuación para eliminar tanto la x como la z . Multiplicar la segunda ecuación por 2 te da esto:

2 * (- x + y + z = 3)
-2 x + 2 y + 2 z = 6

Agregar esto a la primera ecuación te da esto:

{-2 x + 2 y + 2 z = 6} + {2 x + 2 y – 2 z = 2} = {4 y = 8}

Ha eliminado dos de sus variables con una sola operación. Con otros problemas, puede ser necesario repetir este proceso con otra ecuación para eliminar más variables hasta que se quede con una variable.

Resolviendo el problema

Puede resolver fácilmente 4 y = 8 para y ahora.

4 y / 4 = 8/4
y = 2

Tu y es igual a 2. ¿Qué puedes hacer ahora? Mirando sus ecuaciones nuevamente, verá que en realidad puede usar la tercera ecuación ahora y conectar y = 2 para resolver para z .

y + z = 4
2 + z = 4
2 + z – 2 = 4 – 2
z = 2

Tu z también es igual a 2. ¿Y ahora qué? Ahora, puede insertar y = 2 y z = 2 en la primera ecuación para resolver x .

2 x + 2 y – 2 z = 2
2 x + 2 (2) – 2 (2) = 2
2 x + 4-4 = 2
2 x = 2
2 x / 2 = 2/2
x = 1

¡Ah, has terminado! Tu x = 1, tu y = 2 y tu z = 2. Has resuelto todas tus variables.

Ejemplo

Veamos otro problema.

2x + 3y – z = 12
3x + 2y = 12
-5y – z = -16

Nuevamente, tenemos tres variables y tres ecuaciones. Al observar sus ecuaciones, verá que si multiplica la primera ecuación por 3 y la segunda ecuación por -2, puede sumarlas para eliminar la variable x . ¿Cómo obtuvimos estos dos números? Para eliminar nuestra variable x , el número delante de la x debe ser el mismo en ambas ecuaciones. Entonces, necesitamos encontrar el mínimo común múltiplo de 2 y 3. En este caso, es 6. Uno de ellos, sin embargo, debe ser negativo, de ahí la multiplicación de -2. Encontrar el mínimo común múltiplo se cubre en otra lección.

Multiplicando la primera ecuación por 3, obtienes esto:

3 * (2 x + 3 y – z = 12)
6 x + 9 y – 3 z = 36

Multiplicando la segunda ecuación por -2, obtienes esto:

-2 * (3 x + 2 y = 12)
-6 x – 4 y = -24

Sumar 6 x + 9 y – 3 z = 36 y -6 x – 4 y = -24 juntos le da esto:

5 y – 3 z = 12

Al observar esta ecuación y revisar sus tres ecuaciones originales, verá que en realidad puede usar la tercera ecuación y agregarla a esta ecuación recién creada para eliminar la variable y . Entonces, sumar 5 y – 3 z = 12 y -5y – z = -16 te da esto:

-4 z = -4
-4 z / -4 = -4 / -4
z = 1

Acaba de encontrar lo que equivale a su z . ¿Existe una ecuación que ahora pueda usar para ayudarlo a resolver otra variable? Sí, puede insertar z = 1 en su tercera ecuación original para resolver y .

-5 y – z = -16
-5 y – 1 = -16
-5 y – 1 + 1 = -16 + 1
-5 y = -15
-5 y / -5 = -15 / -5
y = 3

Ahora ha encontrado y también. Mirando sus ecuaciones una vez más, verá que ahora puede insertar z = 1 ey = 3 en la primera ecuación para encontrar su última variable.

2 x + 3 y – z = 12
2 x + 3 (3) – (1) = 12
2 x + 9 – 1 = 12
2 x + 8 = 12
2 x + 8 – 8 = 12 – 8
2 x = 4
2 x / 2 = 4/2
x = 2

¡Ya ha terminado! Tu respuesta es x = 2, y = 3 y z = 1.

Resumen de la lección

Repasemos lo que ha aprendido ahora.

Un sistema de ecuaciones es un problema matemático que incluye más de una ecuación que debes resolver. El método de eliminación es un método de solución en el que elimina varias variables para llegar a su solución. Para usar este método, sume dos de sus ecuaciones para eliminar una o más variables. Tu objetivo es llegar a una ecuación con una sola variable. Es posible que deba multiplicar una o ambas ecuaciones por un número para que cuando se agreguen las ecuaciones, se eliminen una o más variables. Una vez que haya resuelto una variable, puede verificar si puede usar esa información en una de sus ecuaciones para resolver las otras ecuaciones. Repite el proceso de eliminación hasta que puedas resolver todas tus variables.

Resultado de aprendizaje

Cuando termines, deberías poder resolver un sistema de ecuaciones usando el método de eliminación.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador