Modelado con funciones y ecuaciones racionales

Definición de función racional

¿Recuerdas los números racionales? Los números racionales son cualquier número que se puede expresar como una razón de dos enteros (números enteros), como 1/2, x / 3 o 5 (ya que 5/1 = 5).

Una función racional es una razón de dos polinomios, donde el exponente tiene que ser un número entero positivo y el denominador no puede ser igual a cero (ya que cualquier número dividido por un cero produce un valor indefinido).

Ejemplos de funciones racionales.

Asíntota

Entonces conoces el concepto de agujero negro, ¿verdad? Un fenómeno natural que no se puede describir, medir o explicar completamente, ¡pero existe absolutamente! Hay una ocurrencia similar en matemáticas, donde hay discontinuidad en una «función normal» de otro modo.

La discontinuidad en matemáticas puede tener la forma de una línea o un punto, y sucede con funciones racionales. Una asíntota es una línea a la que una función se acerca pero nunca alcanza o cruza.

Veamos este ejemplo.

Cuando grabe los distintos valores, observe que cuando x = 3, no está definido:

Cuando x es 3, no está definido

Ahora bien, ¿qué tipo de valor es ‘indefinido’? Dependiendo de la herramienta gráfica que estés usando, es posible que veas el mensaje ‘Error’ para y , cuando x = 3. Eso sucede porque cuando sustituyes 3 por x , el denominador es igual a cero y eso hace que todos los matemáticos entren en pánico: » ¡no se puede dividir por cero! » De la definición de una función racional ya sabemos que el denominador no puede ser igual a cero.

¿Cómo podemos usar funciones racionales para resolver problemas de la vida real? Veamos un ejemplo.

Aplicación de costo promedio

Un proveedor de telefonía celular ofrece un teléfono nuevo por $ 600 con un plan mensual de $ 70. ¿Cuánto le costará mensualmente usar el teléfono, incluido el precio de compra?

$ 600 es el pago único (una constante) y $ 70 es la tarifa mensual (la cantidad que pague depende de cuántos meses esté en la empresa). Por tanto, la función de coste total es:

• f (x) = 600 + 70 x
• donde x es el número de meses

La función de costo total es una función lineal, donde 70 es la pendiente y 600 es la constante (la intersección y , o cuánto paga si compra el teléfono pero no compra / usa el plan). Sin embargo, para saber cuál será el costo promedio, debemos tomar el total y dividirlo por cuántos meses usaremos el servicio telefónico.

Veamos cuánto cambiará el costo promedio dependiendo de cuánto tiempo use el teléfono.

Con cada mes de uso, el costo promedio disminuye.

Problema de predicción

También podemos usar la función racional para hacer predicciones. Por ejemplo, ¿cuándo será el costo mensual promedio de menos de $ 80?

• 80 x > 600 + 70 x
• 80 x – 70 x > 600 + 70 x – 70 x
• 10 x > 600
• 10 x / 10> 600/10
• x > 60

¿¡Sesenta meses !? ¡Eso es 5 años! Podría pensarlo dos veces antes de comprar un teléfono tan caro.

Problemas de porcentaje

Las funciones racionales son muy útiles cuando queremos calcular ciertos ratios o porcentajes, por ejemplo en el mantenimiento de estadísticas en deportes o rendimiento académico.

Problema de calificación promedio

Digamos que estás haciendo un examen. Ya tienes 18 preguntas de las 23 correctas. ¿Cuántas respuestas correctas necesitas para obtener la calificación final deseada?

Necesitará la proporción de respuestas correctas más el nuevo número de respuestas correctas al número total de preguntas.

Ahora que tiene la ecuación, puede usarla para calcular la calificación final deseada. Digamos que fue un curso difícil y estarías contento con un 80% de B-.

• 0,8 (23 + x) = 18 + x
• 18,4 + 0,8x = 18 + x
• 18,4 + 0,8x – 0,8x = 18 + x – 0,8x
• 18,4 = 18 + 0,2x
• 18,4 – 18 = 18 – 18 + 0,2x
• 0.4 = 0.2x
• 2 = x

Solo necesitas 2 preguntas adicionales para obtener una B- (80%) en la final.

Problemas de mezcla

Un problema de mezcla implica una combinación de dos o más líquidos y la concentración de esos líquidos. Digamos que está tomando una clase de química y necesita una solución de sal al 3%. Sin embargo, todo lo que tiene disponible en el laboratorio son 120 mililitros (mL) de solución salina al 10%.

Solución de sal al 10% significa que hay 0.10 (120) = 12 mL de sal en los 120 mL de solución. Por lo tanto, la relación de sal al volumen total de líquido es 12/120, lo que equivale a 0,1.

Para que la proporción sea igual al 3%, que es 0.03, necesitamos agregar más agua. Hmm, cuanto? Debemos agregar el agua al volumen total de la solución (el denominador).

• 12 = 0.03 (120) = 0.03x
• 12 = 3.6 + 0.03x
• 12 – 3.6 = 3.6 – 3.6 + 0.03x
• 8.4 = 0.03x
• 280 = x

Necesitamos 280 mL de agua para cambiar la solución al 3%.

También podemos usar esta ecuación para calcular el porcentaje de solución si agregamos una cantidad diferente de agua.

Dado que x es la cantidad de agua que podemos agregar a la solución, escojamos 50 ml y calculemos cómo cambiará la solución salina.

Si agregamos 50 mL de agua, la solución salina será 7.05%.

Resumen de la lección

Una función racional es una razón de polinomios donde los exponentes deben ser números enteros positivos y el denominador no puede ser igual a cero. Las funciones racionales tienen discontinuidades en números para los que el denominador es igual a cero. Pueden ser puntos o líneas ( asíntotas ) que aparecen en la tabla de valores como errores o valores indefinidos.

Las funciones racionales modelan muchos escenarios de la vida real:

Problema de costo promedio: costo total dividido por la cantidad sobre la que está distribuyendo el costo total (meses, años, etc.).

Problema de calificación promedio: total de respuestas correctas sobre el total de respuestas = porcentaje. Para encontrar el número de respuestas correctas adicionales para alcanzar un cierto grado (porcentaje), sume la x al numerador y al denominador.

Problema de mezcla -% de solución multiplicado por volumen total de líquido = cuánto de algún componente hay en la mezcla. Luego configúrelo como una proporción sobre el volumen total. Para cambiar el% de la solución agregue agua, x al numerador y al denominador.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador