Cómo identificar y dibujar sumas de Riemann izquierda, derecha y media

Revisión de Riemann Sums

Imagina esto. Estás sentado allí ocupándote de tus propios asuntos, y tiro una hoja de papel frente a ti y digo: ‘¿Cuál es el área debajo de esta curva?’ La curva es y = x ^ 2 + 1, y estoy preguntando por el área entre x = 0 y x = 2. ¿Qué haces? Afortunadamente, recuerde que la suma de Riemann le dará el área entre alguna función y el eje x . Y sabes que la suma de Riemann no es más que la suma de k = 1 a k = n de f ( x sub k ) multiplicado por delta ( x sub k). Todo lo que está haciendo es sumar las áreas de n cortes. Cada rebanada tiene f ( x sub k ) de altura, es decir, f (x) de altura para la k- ésima rebanada, con un ancho de delta ( x sub k ). Entonces me miras y dices: ‘Voy a usar un Riemann Sum. En particular, voy a usar un Riemann Sum con una rebanada para que sea más fácil para mí. Acabas de tirar una hoja de papel frente a mí. Estás un poco loco ‘.

Las áreas de los cortes difieren según la ubicación del punto seleccionado

Entonces, toma su suma de Riemann con una porción y escribe esta suma como f ( x sub 1) * delta ( x sub 1). Para f ( x sub 1), elige el lado izquierdo de este gráfico y dice f ( x sub 1) = f (0) = 0 ^ 2 + 1, que es igual a 1. delta ( x sub 1) es el ancho de su única rebanada, que es solo 2 porque es el lado derecho, 2, menos el lado izquierdo, 0. Conecta 1 para f ( x sub 1) y 2 para delta ( xsub 1), y obtiene 1 (2) = 2 es el área debajo de esta curva. Yo digo: ‘No es bueno. ¡Inténtalo de nuevo!’ Dices: ‘Está bien’.

Vuelve a tomar una suma de Riemann con una porción, pero esta vez, elige su f ( x sub 1) para que esté en el medio de la porción. En el medio del corte, en x = 1, f ( x sub 1) = f (1) = 1 ^ 2 + 1 = 2. delta ( xsub 1) seguirá siendo 2, pero ahora el área será 2, que es la altura en el medio, multiplicada por 2, el ancho. Así que el área es 4. Muy bien, dame una más. Cuando tomaste un punto en el lado izquierdo de tu segmento, para estimar el área del corte, obtuviste un área que era igual a 2. Cuando tomaste un punto en el medio del corte, el área era 4. ¿Pero qué ¿Qué sucede si tomas un punto del lado derecho de esta integral? En el lado derecho de la integral, vamos a llamar f ( x sub 1) el punto en el que x = 2, entonces ese es el lugar donde voy a medir la altura de mi primera área. Entonces f ( x sub 1) va a ser igual a f(2) = 2 ^ 2 + 1 = 5. El ancho de mi corte sigue siendo igual a 2. Tengo una altura de 5 y un ancho de 2, y obtengo un área de 10.

Cuando elegí un punto en el lado izquierdo, el área era 2. Cuando elegí un punto en el medio, el área era 4, y cuando elegí un punto en el lado derecho, el área era 10. Aunque para cada uno de estos solo estaba haciendo una porción de la curva. Esto define lo que conocemos como sumas de Riemann del lado izquierdo , donde se selecciona el punto izquierdo de cada segmento, sumas de Riemann del punto medio o medio , donde se selecciona el medio de cada segmento para encontrar un área y sumas de Riemann del lado derecho , donde elige el punto del lado derecho para evaluar el área de un corte.

Encontrar la suma de Riemann del punto medio con dos cortes

Suma de Riemann de punto medio

Ahora te das la vuelta y me arrojas una hoja de papel y dices: ‘¿Cuál es el área?’ Aquí, su curva es y = x ^ 3 y x va a pasar de 0 a 4. Sé cómo funciona este juego, así que pregunto: ‘¿Qué tipo de suma de Riemann quieres?’ y dices: «Quiero el Riemann Sum medio o el punto medio con dos rebanadas». Entonces divido esto en dos segmentos: uno de 0 a 2 y otro de 2 a 4. Sé que mi n en mi suma de Riemann va a ser 2, porque tengo dos áreas que voy a sumar para obtener una estimación del área total. Puedo expandir esta suma de Riemann como f ( x sub 1) * delta ( x sub 1), el área de mi primer corte,x sub 2) * delta ( x sub 2), el área del segundo corte. Como estoy usando la suma de Riemann del punto medio, f ( x sub 1) se tomará en el medio de esta primera porción, en x = 1.

De manera similar, tomaré el punto medio exacto de este segundo corte para estimar el área de esta segunda región. Esto va a estar en x = 3. Mi suma se convierte en f ( x sub 1) * delta ( x sub 1) + f ( x sub 2) * delta ( x sub 2) = f (1) de mi delta ( x sub 1), por lo que el ancho de la primera segmento va a ser 2 – 0 – porque ‘delta ‘ significa cambio – más mi segundo segmento, f (3) multiplicado por delta ( x sub 2), que va a ser 4 – 2. Bueno, f(1) = 1 ^ 3 = 1 yf (3) = 3 ^ 3 = 27. Todo lo que he hecho es conectar 1 y 3 en mi función, y = x ^ 3, y obtengo que mi suma es igual a 1 (2) + 27 (2). Entonces 1 es la altura y 2 es el ancho de mi primer segmento, y los multiplico para obtener el área. El segundo segmento tiene una altura de 27 y un ancho de 2, y los multiplico para obtener el área de la segunda rebanada. Cuando los sumo, 2 + 54, obtengo 56.

Suma de Riemann del lado izquierdo

Gráfico para el ejemplo de la suma de Riemann del lado izquierdo

‘Bien’, me dices. «¿Qué pasa con una suma de Riemann del lado izquierdo con n = 4?» Bien, eso significa que voy a dividir mi región en cuatro partes. Voy a estimar la altura de cada región usando el punto del lado izquierdo de cada rebanada. Así que tengo x sub 1 en x = 0, x sub 2 está en x = 1, x sub 3 está en el lado izquierdo de mi tercer corte en x = 2 y x sub 4 está en x= 3, porque ese es el lado izquierdo de mi cuarta rebanada. Mi Riemann Sum ahora tiene cuatro componentes diferentes. Entonces estoy encontrando el área debajo de esta curva, que será el área de las cuatro rebanadas sumadas. Tengo un término para cada una de las cuatro áreas. Echemos un vistazo al primer término, f ( x sub 1) * delta ( x sub 1), la altura de la primera región multiplicada por el ancho de la primera región. La altura en realidad será cero, porque estoy eligiendo qué tan alta es la región en el lado izquierdo y el lado izquierdo en x = 0. Mi función en x = 0 es f (0) (1-0) = 0, porque 0 ^ 3 es 0.

Bien, ¿qué pasa con la segunda porción? Va de x = 1 a x = 2. Como estoy usando una suma de Riemann del lado izquierdo, quiero saber cuál es la función en x = 1, el lado izquierdo de este sector. f (1), entonces, es igual a (2-1) ^ 3, que es igual a 1. Esa es la altura del segundo corte; ¿qué pasa con el ancho? El ancho es 2-1, que es solo 1. Mi segundo término se convierte en 1 (1), que es solo 1. ¿Qué pasa con el tercer segmento? Debido a que es un lado izquierdo Riemann Sum, esta tercera rebanada tiene una altura de f ( x sub 3), que es f evaluada en x = 2 y tiene una anchura de 3 – 2. f(2) = 2 ^ 3 = 8 y 3-2 = 1, entonces esta tercera rebanada tiene un área de 8 (1) = 8. Finalmente, mi cuarto corte tiene una altura de f evaluada en x = 3 y tiene un ancho de 4-3, que es 1. f (3) = 3 ^ 3 = 27, entonces esa es la altura, y el ancho es 1 . El área total es 27 (1) = 27. Si sumo todas estas áreas juntas, 0 + 1 + 8 + 27, obtengo un área total de 36.

Suma de Riemann del lado derecho

Encontrar una suma de Riemann del lado derecho con n = 2

En este enfrentamiento de papel cuadriculado, me pides una suma de Riemann del lado derecho con n = 2. Así que ahora tengo dos términos en mi suma de Riemann, área # 1 y área # 2. Se evaluará que el segmento n. ° 1 tiene una altura en f de x = 2, porque ese es el lado derecho de este segmento. Se va a estimar que el segmento n. ° 2 tiene una altura af de x = 4, el lado derecho del segmento. Entonces, mi suma de Riemann es f (2) (2-0), ese es el ancho de este primer corte, más f (4) (4-2), el ancho de este segundo corte. Entonces, el área del primer segmento es 2 ^ 3 = 8, multiplicado por 2 = 16. El área del segundo segmento es 4 ^ 3 = 64, multiplicado por 2 = 128. Cuando los sumo, obtengo un área total de 144 .

Resumen de la lección

Este artículo le ha mostrado algunas cosas sobre Riemann Sums. Recuerde que una suma de Riemann es el área entre f (x) y el eje x , y está dada por la suma de k = 1 a k = n de f ( x sub k ) * delta ( x sub k ) para cada uno de las n rebanadas. Mide f ( x sub k ) en el lado izquierdo para un Riemann Sum del lado izquierdo, el lado derecho para un Riemann Sum del lado derecho y en el medio si tiene un Riemann Sum de punto medio.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador