Racionalización del numerador

Racionalización del numerador

Al pensar en lo que ha aprendido sobre las diferentes categorías de números, es posible que recuerde los términos generales, números racionales e irracionales. Es importante comprender en qué se diferencian estos dos grupos antes de sumergirse en la racionalización del numerador o del denominador de una fracción.

La principal distinción entre un número racional e irracional es si un número puede o no escribirse como la razón de dos enteros, o números enteros, en forma de decimales, fracciones o números enteros. Un número racional, no importa cuán grande sea, cumple con este requisito, mientras que un número irracional no.

Los números irracionales pueden tener la forma de un decimal con infinitos dígitos no repetidos o una integral no perfecta, como una integral que no escupe un número entero. Un ejemplo común de un número irracional es pi, o 3,1415926….

En términos de integrales, la raíz cuadrada de cuatro da como resultado el número entero, dos, lo que lo convierte en un número racional. Sin embargo, la raíz cuadrada de cinco da como resultado el decimal no terminado y no repetido 2.23606, etc., lo que lo convierte en un número irracional. Debido a que a veces vemos fracciones con un número irracional en el numerador o denominador, es importante tener un conjunto de procedimientos para racionalizar o convertir ese número irracional en uno racional. Si bien es más común racionalizar un denominador, todavía hay casos en los que es necesario racionalizar el numerador.

Único radical

Digamos que se le da la siguiente fracción y se le pide que racionalice su numerador.

Paso # 1: Eche un vistazo a su numerador y decida si es irracional o racional. En este caso, tenemos un número irracional, la raíz cuadrada de 8.

Paso # 2: Una vez que hayas determinado que tu numerador es irracional, vas a crear una nueva fracción usando tu número irracional como numerador y denominador. Recuerda, cuando tienes el mismo número que el numerador y el denominador, tu fracción es equivalente al número uno.

Paso # 3: Debido a que su fracción creada es equivalente a uno, y la propiedad de identidad nos dice que podemos multiplicar cualquier número por uno y obtener el mismo número, puede multiplicar su fracción original por su fracción creada y su respuesta será igual a su número original.

Paso # 4: Una de las reglas de las integrales nos dice que cuando multiplicamos una integral por sí misma, el signo de la integral desaparece y nos queda el número dentro de la integral. En el caso de nuestro numerador, multiplicamos la raíz cuadrada de 8 por la raíz cuadrada de 8 para eliminar nuestra integral. Ahora vemos por qué necesitamos multiplicar por nuestro número irracional.

Paso # 5: Esto nos deja con un número racional en nuestro numerador, pero es muy importante para nosotros NO detenernos ahí. ¡Siempre debes simplificar tu respuesta! En el caso de nuestra solución, podemos reducir la fracción por un factor de dos para obtener nuestra respuesta final con el numerador racionalizado.

Dado que multiplicamos nuestra fracción original por una fracción equivalente a uno, podemos decir con seguridad que nuestra respuesta final es exactamente la misma que nuestra fracción original, solo que en una forma diferente para que nuestro numerador sea un número racional.

Radical conjugado

Habrá casos en los que se te presente una fracción irracional, pero hay varios términos adjuntos al número irracional. Consideremos la siguiente fracción:

Debemos seguir los mismos pasos que antes, pero en su lugar usaremos algo llamado conjugado. El conjugado es una forma elegante de decir, cambia el signo. Entonces, en el caso de nuestro ejemplo, el conjugado sería: 9 + raíz cuadrada de 6. Todo lo que hicimos fue cambiar nuestro signo menos a un signo más.

Paso # 1: Podemos ver que nuestro número irracional es la raíz cuadrada de 6. Aquí es donde el procedimiento comienza a desviarse. En lugar de identificar solo el número irracional, veremos el panorama general: 9 – raíz cuadrada de 6.

Paso # 2: Usando nuestro conjugado como numerador y denominador, crearemos una nueva fracción. Pero en lugar de simplemente usar el número irracional, usaremos el conjugado.

Paso # 3: Como antes, debemos multiplicar nuestra fracción original por la fracción creada.

Paso # 4: Al multiplicar, debemos usar FOIL en nuestro numerador, lo que significa:

• Multiplica el primero
• Multiplica el exterior
• Multiplica el interior
• Multiplica el último

Después de usar nuestro método FOIL, podemos reducir el numerador eliminando las + 9 raíces cuadradas de 6 y – 9 raíces cuadradas de 6. Esto nos deja con 81 – 6 = 75.

Paso # 5: Nuevamente, NO debemos olvidar verificar si necesitamos simplificar. En este caso, nuestra fracción se puede reducir en un factor de 3.

Resumen de la lección

En esta lección, no solo repasaste las características de un número irracional, sino que también aprendiste los pasos necesarios para racionalizar el numerador de una fracción. Los pasos incluyen crear una nueva fracción con el conjugado , multiplicar a través del numerador y el denominador y simplificar su respuesta.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador