Racionalización de denominadores en expresiones radicales

Termina lo que empiezas

Si alguien estuviera construyendo un edificio, no dejaría el techo y lo llamaría bueno. Cuando haces una hamburguesa, no pondrías todos los aderezos en el pan y luego dejarías la hamburguesa. Ambas cosas deben terminarse para que sean utilizables.

También es necesario terminar los problemas de matemáticas. Hay ciertas cosas que tienen que suceder para que un problema de matemáticas se complete.

¿Cuándo se termina una expresión radical?

Hay dos requisitos principales para que una expresión radical se considere lo más simplificada posible.

1. Se deben eliminar todos los términos que se puedan eliminar debajo del símbolo de radical. Esto significa que si el radical es una raíz cuadrada y hay un término que se puede simplificar, como 4 o x ^ 2, debe simplificarse. La raíz cuadrada de 4 es 2 y la raíz cuadrada de x ^ 2 es x.

2. No puede haber un radical en el denominador de una fracción. Si hay un radical en el denominador, es necesario realizar un proceso llamado racionalización del denominador.

Cómo racionalizar un denominador con un término

Cuando el denominador es un monomio , que es una expresión con un solo término, puedes racionalizar el denominador multiplicando tanto el numerador como el denominador por un término que hará que el denominador sea una expresión de modo que cuando se simplifique ya no contenga un radical.

Por ejemplo, simplifique:

El siguiente paso es determinar qué expresión multiplicar al radical en el denominador. Debe ser algo que haga que el denominador pierda su radical. Muy a menudo, el término será igual al término del denominador. En el caso de este ejemplo, multiplicarás el numerador y el denominador por la raíz cuadrada de 7.

Cuando haces eso, esto es lo que sucede:

Luego, cuando simplificas y extraes la raíz cuadrada de 49, obtienes:

Y esa será la respuesta final, sin radical en el denominador.

Aquí hay otro ejemplo:

Este ejemplo es un poco diferente del anterior en que no es necesario multiplicarlo por la raíz cuadrada de 8 para racionalizar el denominador, ya que 8 * 2 es 16 y 16 es un cuadrado perfecto . Un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero. Podemos usar 2 para crear un cuadrado perfecto en lugar de 8.

Cuando se multiplica, la expresión se convierte en:

Que se puede simplificar a:

como la respuesta final.

Cómo racionalizar un denominador con más de un término

Cuando hay más de un término bajo un signo de radical en el denominador, se vuelve un poco más complicado. Para simplificar, necesitará multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del denominador . El conjugado es la misma expresión pero con el signo opuesto en el medio.

El conjugado de:

es:

Cuando multiplicas una expresión que contiene un radical por su conjugado, esto es lo que sucede:

Recuerde que al multiplicar dos binomios (expresiones con dos términos), debe usar el método FOIL. FOIL significa:

F = primer término en cada paréntesis

O = término externo en cada paréntesis

I = término interior en cada paréntesis

L = último término en cada paréntesis

Entonces, para este problema de multiplicación, obtenemos:

Si realiza la multiplicación correctamente, se eliminarán los radicales. En este caso:

Para racionalizar el denominador, multiplicarás tanto el numerador como el denominador de la fracción por el conjugado del denominador.

Aquí hay un ejemplo. Simplificar:

Primero, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por el conjugado del denominador y obtenemos:

Lo que nos da:

Luego, simplificamos combinando términos semejantes para obtener:

Sin embargo, aún no hemos terminado. Esta fracción se puede reducir aún más porque cada término es divisible por 2. Cuando cancelamos un 2 de cada término, la respuesta final es:

Probemos con otro ejemplo. Simplificar:

El primer paso es multiplicar por el conjugado del denominador.

Lo que nos da:

Cuando simplificamos, obtenemos:

Resumen de la lección

Al igual que con la construcción o la cocina, los problemas de matemáticas nunca se terminan por completo hasta que se completan ciertas tareas. Con fracciones que contienen radicales en el denominador, el paso final de racionalizar el denominador eliminará ese radical.

Al racionalizar el denominador de una fracción, el primer paso es multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción por un término que hará que el radical se cancele en el denominador. En expresiones donde hay un solo término en el denominador, este es cualquier término que hace que el denominador sea un cuadrado perfecto. En expresiones con dos términos, este es el conjugado del denominador, que es la misma expresión que el denominador pero con el signo opuesto en el medio. Una vez que multiplique el numerador y el denominador por este término y simplifique, la fracción ya no debería contener un radical en el denominador.

Los resultados del aprendizaje

Estudie esta lección mientras fortalece su capacidad para:

• Entiende por qué tienes que racionalizar el denominador
• Indique los dos requisitos para que una expresión radical se considere completamente simplificada
• Siga los pasos para racionalizar denominadores con un término y más de un término