Cómo encontrar el cociente de diferencia con radicales

Publicado el 24 noviembre, 2020

Cocientes de diferencia con radicales

Estamos interesados ​​en encontrar el cociente de diferencias de funciones con radicales. Es posible que esté familiarizado con la fórmula del cociente de diferencias de una función f ( x ). Es decir:

[ f ( x + h ) – f ( x )] / h

donde ( x , f ( x )) y ( x + h , f ( x + h )) son dos puntos cualesquiera en la gráfica de la función de f ( x ). Esta fórmula nos da la pendiente de una recta que pasa por dos puntos cualesquiera en la gráfica de f . El área en la que este cociente de diferencias es más útil es para encontrar derivadas. Verá, el límite del cociente de diferencias, cuando h se acerca a 0, es igual a la derivada de la función f .

diffquotrad1

Debido a esto, siempre es deseable poder simplificar el cociente de diferencias de una función a un punto donde, si h = 0, no habrá un denominador cero.

Teniendo esto en cuenta, consideremos funciones con radicales. Cuando queremos encontrar el cociente de diferencias de una función radical, el primer paso es el mismo que si estuviéramos encontrando el cociente de diferencias para cualquier función. Es decir, encontramos f ( x + h ) y reemplazamos f ( x ) y f ( x + h ) en la fórmula del cociente de diferencias.

Por ejemplo, considere la función radical más simple, f ( x ) = √ ( x ). El primer paso para encontrar el cociente de diferencias para esta función es encontrar f ( x + h ) conectando x + h para x en f para obtener:

  • f ( x + h ) = √ ( x + h )

Ahora, conectamos f ( x ) y f ( x + h ) en la fórmula del cociente de diferencias.

diffquotrad2

Terminamos con [√ ( x + h ) – √ ( x )] / h . Hmm. . . parece que está tan lejos como podemos llevarlo, pero si h = 0, habrá un denominador cero, por lo que realmente queremos poder llevarlo más lejos. ¡Vamos a tener que ser creativos!

El siguiente paso para encontrar el cociente de diferencias de funciones radicales involucra conjugados. El conjugado de la expresión a + b es ab y el hecho de que

  • ( a + b ) ( ab ) = a 2b 2

realmente nos ayudará a simplificar este cociente de diferencias.

Cuando nos encontramos con un obstáculo que parece que no podemos simplificar el cociente de diferencias que tiene radicales, el siguiente paso es encontrar el conjugado del numerador y multiplicar tanto el numerador como el denominador por ese conjugado.

En nuestro ejemplo, el numerador es √ ( x + h ) – √ ( x ), por lo que el conjugado de esto sería √ ( x + h ) + √ ( x ). Observe lo que sucede cuando multiplicamos el numerador y el denominador por este conjugado.

diffquotrad3

Después de toda la simplificación, terminamos con 1 / [√ ( x + h ) + √ ( x )] y vemos que si h = 0, no obtenemos un denominador cero.

Solución

Entonces, para encontrar el cociente de diferencias de una función, f ( x ), donde f contiene radicales, seguimos estos pasos:

  1. Encuentre f ( x + h ).
  2. Reemplaza f ( x + h ) yf ( x ) en la fórmula del cociente de diferencias.
  3. Encuentra el conjugado del numerador.
  4. Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador.
  5. Simplificar.

Ejemplo

Hemos buscado encontrar el cociente de diferencias de la función radical más simple, f ( x ) = √ ( x ). Intentemos encontrar el cociente de diferencias para otra función radical para que podamos familiarizarnos realmente con este proceso.

Considere la función g ( x ) = √ (2 x + 1). Veamos esto a través de nuestros pasos para encontrar su cociente de diferencias.

Primero, procedemos como de costumbre al encontrar g ( x + h ). Reemplazamos x + h por x para obtener g ( x + h ) = √ [2 ( x + h ) + 1] = √ (2 x + 2 h + 1).

Ahora, conectamos g ( x + h ) y g ( x ) en nuestra fórmula de cociente de diferencias.

diffquotrad7

Terminamos con [(√ (2 x + 2 h + 1) – √ (2 x + 1)] / h . Eso fue bastante fácil, ¡pero aún no hemos terminado!

A continuación, queremos encontrar el conjugado del numerador √ (2 x + 2 h + 1) – √ (2 x + 1), que es √ (2 x + 2 h + 1) + √ (2 x + 1) . Ahora multiplicaremos tanto el numerador como el denominador por este conjugado.

diffquotrad8

Terminamos con [2 x + 2 h + 1 – (2 x + 1)] / [ h (√ (2 x + 2 h + 1) + √ (2 x + 1)]. ¡Ya casi llegamos! El último paso es simplemente simplificar.

diffquotrad9

¡Lo hicimos! Terminamos con el cociente de diferencias de g ( x ) = 2 x + 1 como

  • 2 / [√ (2 x + 2 h + 1) + √ (2 x + 1)]

Observe que si h = 0, el denominador no será cero.

A medida que avanza en su estudio de las matemáticas, verá lo valioso que es poder simplificar el cociente de diferencias hasta el punto en que h siendo cero no creará un denominador cero.

¡Puntúa este artículo!