Definición
El análisis de cero significa que está encontrando todos los ceros o soluciones para una función en particular. Las funciones habituales con las que trabajará son polinomios de la siguiente forma.
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Las funciones que resolverá tendrán el siguiente aspecto.
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Estos polinomios no son los más fáciles de resolver, pero te mostraré el método que debes usar para encontrar los ceros o soluciones de cualquier polinomio. Los pasos que te mostraré se aplican a la resolución de todas las funciones polinomiales. Una vez que lo domines, te servirá bien. Así que ponte tu gorro de pensar y podemos ponernos manos a la obra.
Preparando el problema
Lo que verá puede parecer tedioso, pero verá cómo acortará su problema más adelante.
Seguiremos adelante y resolveremos la primera función que les mostré.
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Nuestro primer paso es mirar los coeficientes del primer y último término. Los coeficientes son los números que ve delante de las variables en cada término. Los términos son el producto de un coeficiente numérico y variables y están separados entre sí por un signo más o menos. En este caso, tenemos un 1 como nuestro coeficiente para el término x ^ 3 y nuestro último término tiene un coeficiente de -8.
Al establecer nuestro problema, queremos encontrar todos los factores de nuestros dos coeficientes. Formaremos fracciones a partir de estos factores. Los factores son los números que se utilizan para multiplicar para llegar a nuestro número deseado. También son los números que se dividen uniformemente en nuestro número. Entonces, los factores de -8 serán los números que usamos para multiplicar para llegar a -8 o números que se dividen uniformemente en -8. Nuestros factores de -8 irán en el numerador y nuestros factores de 1 irán en el denominador. Para todos nuestros factores, incluiremos tanto el positivo como el negativo porque si cambiamos los signos, aún podremos multiplicar a -8. Veamos lo que obtenemos.
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Para los factores de -8, tengo el negativo y el positivo de 1, 2, 4 y 8. Observa cómo cuando multiplicas 2 y -4 obtienes -8, y también si multiplicas -2 y 4, también obtienes -8. Es por eso que incluimos versiones tanto positivas como negativas, porque los signos se pueden cambiar fácilmente y aún podemos multiplicar hasta nuestro número deseado. También hemos colocado nuestros factores de -8 en el numerador de nuestras fracciones y los factores de 1 en el denominador. También hemos simplificado las fracciones. Sabemos que cualquier cosa por encima de 1 es él mismo, por lo que nuestras fracciones se simplifican a números enteros.
El propósito de estas fracciones es darnos una lista de posibles respuestas. La forma en que funcionan los polinomios es que cuando obtienes esta lista de fracciones, todas las soluciones vendrán de esta lista. No todas las fracciones serán una solución, pero algunas lo serán.
Lo que hacemos con esta lista de fracciones es elegir un número a la vez de la lista para ver si es una solución de nuestro polinomio. Verificamos la fracción insertándola en la función para ver si la función es igual a cero. Elijamos 1 como nuestro primer número para probar. Veamos si pone a cero la función.
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¡Mira eso! 1 es una solución de nuestra función. Eso significa que un factor de nuestra función es ( x -1). Cuando escribimos nuestra solución entre paréntesis con nuestra variable, usamos un signo menos si nuestra solución es positiva y un signo más si nuestra solución es negativa. Nuestra solución es positiva, por lo que usamos un signo menos. Como sabemos que ( x -1) es un factor de nuestra función, podemos dividir nuestra función por ese factor para comenzar a simplificar nuestra función. Usaremos división sintética.
División sintética
La división sintética es otro método para dividir polinomios, pero solo funciona cuando se divide por factores como ( x -a) donde a es un número. Lo que hacemos con la división sintética es poner nuestro cero en el lado izquierdo y dibujar los paréntesis de división. A continuación, colocamos nuestros coeficientes en orden debajo del corchete. Nuestro cero es 1 y nuestros coeficientes para nuestra función son 1, -7, 14 y -8. Si nos faltara uno de nuestros términos, por ejemplo, no tuviéramos untérmino x ^ 2, colocaríamos un cero en su lugar. Para nuestra función, debido a que todos nuestros términos están presentes, no necesitamos ceros adicionales.
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La forma en que funciona la división sintética es dibujar otra línea debajo dejando espacio para escribir números entre la línea y debajo de nuestros coeficientes. Bajamos nuestro primer coeficiente y lo multiplicamos por el cero y colocamos ese número debajo del siguiente coeficiente.
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A continuación, sumamos esos dos números y los escribimos debajo de la línea. Luego tomamos la suma y la multiplicamos por el cero y la colocamos debajo del siguiente coeficiente.
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Continuamos este proceso hasta llegar al final.
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Hemos sumado los dos números y los hemos escrito debajo de la línea. También hemos multiplicado ese nuevo número con nuestro cero y lo hemos escrito debajo del siguiente coeficiente. Agregamos esos dos últimos números para obtener 0 y terminamos. ¿Observa cómo nuestro último número es 0? Esto nos dice que hicimos la división correctamente y que 1 es un cero o una solución a nuestra función.
Mirar la última fila de números nos proporciona los coeficientes de la respuesta. El segundo hasta el último número, el 8, es el último término de nuestra función. El -6 i x nuestro término x y el 1 es nuestro término x ^ 2. Entonces nuestra respuesta es la siguiente.
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Podemos reescribirlo moviendo el factor x -1 al otro lado de esta manera.
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Hemos comenzado a simplificar nuestra función y hemos descubierto el primer factor de la función.
Terminando el problema
Ahora podemos repetir todo el proceso eligiendo otra fracción para probar. Pero esta vez, usaremos la respuesta que obtuvimos al dividir, nuestra función g ( x ) ahora. Elijamos el número 2 para verificar si ese es un cero de nuestra función g ( x ).
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El número 2 se comprueba como cero para g ( x ). Esto nos dice que x -2 es un factor de nuestra función f ( x ). Así que ahora usaremos la división sintética para dividir g ( x ) por nuestro cero para seguir simplificando nuestra función.
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Obtenemos x -4 como nuestra respuesta después de dividir nuestra función g ( x ) por nuestro cero. Esto nos dice que x -4 es nuestro último factor de nuestra función f ( x ). En este punto, podemos continuar y resolver nuestro último cero. Fijamos x -4 igual a 0 y resolvemos x para obtener x = 4.
Nuestra función en forma factorizada se puede escribir así.
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Y nuestros ceros de nuestra función son 1, 2 y 4.
Resumen de la lección
El análisis de cero es el cálculo de todos los ceros de una función polinomial. Los pasos implican encontrar fracciones que constan de factores de los coeficientes del último término y el primer término. Las fracciones se eligen para determinar cuáles son los ceros de la función. La división sintética se usa para simplificar la función y encontrar más ceros.
Resumen de análisis cero
| Condiciones | Definiciones |
|---|---|
| Análisis cero | encontrar todos los ceros o soluciones de una función en particular |
| Coeficientes | los números que ves delante de las variables en cada término |
Los resultados del aprendizaje
Considere estos hechos sobre el análisis cero, luego:
- Indique que hace el análisis cero
- Utilice el análisis cero para resolver polinomios
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