Rodrigo Ricardo

Análisis de la gráfica de una función racional: asíntotas, dominio y rango

Publicado el 22 noviembre, 2020

Funciones racionales

Las funciones racionales se definen como la razón de dos expresiones polinómicas. Por ejemplo, supongamos que se nos dan dos funciones polinomiales lineales simples:

f 1 = 10 x + 6

f 2 = x – 1

Podemos componer una función racional simplemente tomando su razón.

f 1 / f 2 = (10 x + 6) / ( x – 1)

Gráfico 1

La gráfica de la función resultante es sorprendentemente compleja para entradas tan simples. Podemos ver que esta función derivada consta de dos partes distintas. Dependiendo de las expresiones polinómicas encontradas en el numerador y denominador, las gráficas de funciones racionales pueden adoptar varias formas complejas. Estas formas están definidas en parte por el dominio efectivo y el rango de la función.

Dominio y rango

El dominio de una función consta de todos los valores permitidos para la variable independiente x . De manera similar, el rango de la función consta de todos los valores posibles para la variable dependiente y . Si miramos más de cerca nuestro gráfico, vemos que se acerca, pero nunca llega a, ciertos valores en x e y . En este caso, ambas porciones de la función gráfica son asintóticas a esos valores. Cualquier asíntota que cruce el eje x paralelo al eje y puede denominarse asíntota vertical de la función. De manera similar, cualquier asíntota que cruce el eje y paralelo alEl eje x se conoce como asíntota horizontal .

Aquí está nuestro gráfico con las asíntotas verticales y horizontales trazadas como líneas discontinuas:

Gráfico 2

Las asíntotas vertical y horizontal nos ayudan a encontrar el dominio y rango de la función. Vemos que la asíntota vertical tiene un valor de x = 1. A partir de esto, podemos afirmar que el dominio de esta función consta de todos los valores en x , excepto 1. Si miramos hacia atrás en nuestra función original, observe que el denominador es el término x – 1. Usando 1 como valor de xdaría como resultado un valor de 0 para el denominador. Debido a que la división por 0 no está definida, es matemáticamente razonable que el dominio de nuestra función racional consista en todos los valores excepto 1. En el caso de ecuaciones polinomiales más complejas, podemos factorizar el denominador y luego resolver para 0 en cada uno de los términos individuales. . Cualquiera de esos valores estará fuera del dominio de la función, ya que la función no está definida en esas ubicaciones.

De manera similar, podemos ver gráficamente que una asíntota horizontal ocurre en el valor de y = 10. A partir de esto, podemos afirmar que el rango de esta función consiste en todos los valores en y excepto 10.

Hay algunas reglas que podemos usar para ayudar a llegar a estos lugares. Estas reglas se basan en el valor del mayor exponente que se encuentra en el numerador y denominador de la función racional. Considere la forma general de una función racional, donde m es el mayor exponente en el numerador y n es el mayor exponente en el denominador. Si m menor que n , entonces el propio eje x será la asíntota horizontal. En este caso, el denominador siempre tendrá una magnitud mayor que el numerador y se acercará, pero nunca llegará a, un valor de y = 0 (es decir, el eje x ). Si m = n , entonces la líneay = a / b es la asíntota horizontal. Este es el caso de nuestra función simple: m y n tanto tener un valor de 1 y Y = un / b = 10/1 = 10. Si m = n + 1, entonces no habrá asíntota horizontal. En este caso, tendremos lo que se llama una asíntota inclinada, que exploraremos con más detalle pronto. Cualquier asíntota horizontal definirá una ubicación que no es parte del rango de la función racional. En lugar de derivar estos valores mediante reglas y cálculos, estas ubicaciones suelen ser más fáciles de encontrar simplemente mirando la gráfica de la función racional.

Asíntotas inclinadas

No todas las asíntotas que se encuentran en las gráficas de funciones racionales son paralelas al eje x o y . Pueden ocurrir en cualquier ángulo. Estas asíntotas se conocen como asíntotas oblicuas o, a veces, asíntotas oblicuas . De hecho, las asíntotas oblicuas surgen en el último caso mencionado para encontrar asíntotas horizontales. Este es el caso donde el mayor exponente encontrado en el numerador es un grado más grande que el mayor exponente encontrado en el denominador. Por ejemplo, considere la función racional: f ( x ) = ( x 2 – 8 x – 11) / ( x + 4). El gráfico de la función aparece como sigue:

Gráfico 3

Debido a que el denominador es x + 4, esperamos una asíntota vertical en x = -4, pero debido a que el mayor exponente del numerador es más grande que el mayor exponente del denominador en 1 grado, también tenemos una asíntota inclinada. La línea que sigue esta asíntota es un cálculo simple. Solo necesitamos dividir el numerador por el denominador, ignorando los términos restantes que no afectarían la ecuación lineal resultante. En este ejemplo, el resultado es y = x – 12.

Resumen de la lección

Las funciones racionales se definen como la razón de dos expresiones polinómicas. Cuando se grafican, estas funciones a menudo tienen formas únicas que están controladas, en parte, por el dominio y rango de la función. Para una función racional definida como y = f ( x ) 1 / f ( x ) 2 , el dominio consta de todos los valores posibles en x y el rango consta de todos los valores posibles en y . Las asíntotas verticales ocurren donde la función racional daría como resultado una división por cero y puntos definidos fuera del dominio. Asíntotas horizontalesocurren dondequiera que la función racional se acerque, pero nunca llegue a, un valor específico en y y están controladas por el grado relativo de los factores exponenciales más grandes en el numerador y denominador de la función racional. Si el factor exponencial más grande del numerador es mayor que el del denominador en un grado, entonces se producirán asíntotas oblicuas en la gráfica.

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