Aplicación de funciones cuadráticas al movimiento bajo gravedad y problemas de optimización simple

Funciones cuadráticas

En esta lección en video, hablaremos sobre cómo las funciones cuadráticas , la función de un grado 2, se utilizan en el mundo real para modelar escenarios del mundo real. Recuerda que una función con un grado 2 tiene, como máximo, tres términos con el exponente más alto de 2. Todas nuestras funciones cuadráticas siguen la forma estándar de f ( x ) = ax ^ 2 + bx + c , donde a , b , yc son tus coeficientes yx es tu variable.

Sin embargo, cuando se usa para modelar escenarios del mundo real, su variable puede ser otra letra; no siempre es x . Puede ser t para representar el tiempo, o h para representar la altura, o cualquier otra letra para representar lo que el problema necesita. Por ejemplo, esta función cuadrática es la función básica para un objeto que se lanza al aire o simplemente se suelta:

La g proviene de la fuerza de la gravedad. Es 4.9 en metros o 16 en pies. El v sub 0 representa la velocidad inicial del objeto, y h sub 0 es la altura desde la cual se lanza o se deja caer el objeto. Observe el exponente de 2.

Nuestras fórmulas para calcular el área también son funciones cuadráticas. Por ejemplo, la función para calcular el área de un cuadrado es A = s ^ 2, donde A representa el área y s representa la medida de un lado del cuadrado. ¿Ves el exponente de 2?

Problemas del mundo real

¿Qué tipo de problemas del mundo real podemos esperar resolver usando estas funciones cuadráticas? Podemos resolver problemas en los que queremos encontrar cuánto tiempo un determinado objeto permanece en el aire antes de golpear el suelo después de ser lanzado al aire, o arrojado desde cierta altura.

Por ejemplo, digamos que alguien lanza caramelos desde el tercer piso. Estás en la parte inferior y quieres saber cuánto tiempo debes esperar antes de sacar tu balde para atrapar los dulces. Puedes usar una función cuadrática para averiguarlo.

Y también podemos resolver problemas como encontrar las mejores dimensiones para que un patio albergue el área más grande con solo una cierta cantidad de cercas. Digamos que le dieron solo un rollo de esgrima. Puede usar una función cuadrática para ayudarlo a encontrar el área más grande que puede encerrar con esa cantidad de cercas. ¿Quieres ver cómo funciona esto con un par de ejemplos?

¡Bueno! Hablemos primero del caramelo. Se trata de la gravedad, por lo que nuestra función se basa en cómo caen los objetos cuando están bajo la fuerza de la gravedad. Al vivir en este planeta Tierra, sabes que todo se ve afectado por la fuerza de la gravedad, que resulta ser la misma para todos los objetos. Por lo tanto, tenemos esta fórmula para los objetos que caen bajo la fuerza de la gravedad:

La pequeña g , que se deriva del valor matemático de la gravedad, es de 4,9 si se trata de metros y de 16 si se trata de pies. Aquí está nuestro problema:

‘El hombre de los dulces los está tirando por la ventana del tercer piso de su fábrica de dulces. Lanza los caramelos al aire a una velocidad de 16 pies por segundo. La altura de la ventana del tercer piso es de 32 pies. ¿Cuántos segundos tardan los caramelos en caer al suelo?

Vemos que este problema nos da nuestro v sub 0, nuestra velocidad inicial, así como h sub 0, nuestra altura inicial. Ya que estamos tratando con pies, nuestra g es 16. Reemplazando nuestros valores de g = 16, v sub 0 = 16 y h sub 0 = 32 en nuestra función de gravedad, obtenemos esta fórmula:

Esta función nos da la altura de nuestro objeto, nuestros caramelos, en un momento dado. Para saber cuándo nuestros dulces tocarán el suelo, establecemos esta función igual a 0 para una altura de 0:

Luego usamos habilidades de álgebra para resolver esta función cuadrática. Primero dividimos por -16. Obtenemos 0 = t ^ 2 – t – 2. Entonces podemos resolver factorizando. Se convierte en 0 = ( t – 2) ( t + 1).

Obtenemos respuestas de t = 2 y t = -1. ¿Cuál de estas respuestas tiene sentido para nosotros? Bueno, no podemos retroceder en el tiempo, por lo que t = 2 es la respuesta que tiene sentido. Los dulces tardan 2 segundos en llegar al suelo.

Nuestro siguiente ejemplo analiza la optimización o aprovechar al máximo una situación. Nuestro problema es este:

‘Tenemos 500 pies de vallas disponibles para que las usemos. ¿Cuáles son las dimensiones del patio rectangular de mayor tamaño que puede hacer esta cantidad de cercas?

Para resolver este problema, necesitamos utilizar la fórmula del área para un rectángulo. La fórmula es A = L * w . Tenemos dos variables. Para convertir esto en una función cuadrática, necesitamos otra ecuación que podamos resolver para una de las variables para insertarla en la fórmula del área.

Esta segunda ecuación la obtendremos de nuestros 500 pies de cerca. Nuestra fórmula para nuestro perímetro es de 2 L + 2 w = 500. La solución de este w , obtenemos w = 250 – L . El tapar esto en la fórmula para el área, obtenemos A = L * (250 – L ) = 250 L – L ^ 2 = – L ^ 2 + 250 L .

Si tuviéramos que graficar esta función, obtendríamos una parábola. El área más grande que puede contener esta función se encuentra encontrando dónde está la punta o vértice de nuestra parábola. Podemos encontrar la longitud calculando – b / 2 a , lo que le da la h del vértice ( h , k ). La h corresponde a la longitud en nuestro cálculo de área.

Calculando – b / 2 a , obtenemos -250/2 (-1) = 125. Entonces, nuestra longitud es 125. Para encontrar nuestro ancho, usaremos w = 250 – L y conectaremos nuestra L. Obtenemos w = 250 – 125 = 125. Ah, entonces nuestro ancho también es 125. Eso significa que nuestro rectángulo también es un cuadrado.

Entonces, un patio rectangular que mide 125 por 125 pies es el patio más grande que podemos hacer. Si introdujimos 125 en nuestra fórmula de área, encontraríamos el área de nuestro patio más grande.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Aprendimos que las funciones cuadráticas , las funciones con un grado de 2, se utilizan en el mundo real para modelar diferentes escenarios. La forma estándar de todas las funciones cuadráticas es f ( x ) = ax ^ 2 + bx + c , donde a , b , y c son sus coeficientes y x es la variable. Las funciones cuadráticas se utilizan para modelar problemas de gravedad en los que queremos encontrar cuánto tiempo tarda un objeto en volver a caer al suelo después de haber sido lanzado al aire, arrojado desde una cierta altura o arrojado desde cierta altura.

Las funciones cuadráticas también se utilizan para ayudar a resolver problemas de optimización , o problemas que quieren que encuentre el área más grande que puede contener una cierta cantidad de cercas. Para resolver estos problemas se requieren habilidades de álgebra una vez que tenemos nuestra fórmula. Y estos problemas requieren algo de pensamiento y sentido común para configurarlos correctamente y resolverlos. Por ejemplo, cuando el problema pregunta sobre el tiempo que tarda un objeto en golpear el suelo, debe pensar y decirse a sí mismo que el suelo tiene la misma altura que cero.

Los resultados del aprendizaje

Debería tener la capacidad de hacer lo siguiente después de esta lección:

• Definir funciones cuadráticas
• Identificar la forma estándar para funciones cuadráticas
• Explicar cómo usar funciones cuadráticas para resolver problemas de gravedad y optimización.