Aplicación de sistemas de ecuaciones lineales al equilibrio del mercado: Pasos y ejemplo

Modelos lineales y limones

Max es un millonario de limonada con su propia compañía de puestos de limonada, Xtreme Lemon. Max necesita comprender la oferta y la demanda para poder encontrar el equilibrio del mercado. El equilibrio del mercado es cuando la cantidad de producto producido es igual a la cantidad demandada. Podemos ver el equilibrio en un gráfico cuando la función de oferta y la función de demanda se cruzan, como se muestra en este gráfico. Entonces, Max puede averiguar cómo fijar el precio de sus nuevos productos de limonada basándose en el equilibrio del mercado. Analicemos esto una línea a la vez.

Equilibrio del mercado

Ésta es la línea de la función de suministro.

y x

Observe que cuanto más cobra Max por su limonada, más puede producir. Que tiene sentido; si Max está vendiendo su limonada por mucho dinero, entonces puede comprar más suministros, como limones, tazas y azúcar, y hacer aún más limonada. Esto sigue la ley de la oferta , que establece que la cantidad ofrecida para la venta aumentará a medida que aumenta el precio de un producto.

Digamos que Max ha cambiado de opinión y ahora está dispuesto a suministrar 12,5 tazas de limonada, pero solo si el precio de la limonada es de $ 5 por taza. También está dispuesto a suministrar 30 tazas de limonada a $ 6.75 la taza. Podemos poner esa información en dos puntos en una gráfica como esta: (12.5, 5) y (30, 6.75).

Ahora tenemos dos puntos pero ninguna línea. Necesitamos escribir una ecuación para terminar esta función de oferta. Para hacer esto, necesita conocer la fórmula de la pendiente, que es m = ( y sub2 – y sub1) / ( x sub2 – x sub1), la forma punto-pendiente, que es y – y sub1 = m ( x – x sub1), y la forma pendiente-intersección, que es y = mx + b . Si no está familiarizado con alguna de estas ecuaciones o siente que necesita repasar, detenga este video y mire los videos sobre ecuaciones lineales y desigualdades .

Encontrar la función de oferta

Escribiremos esta ecuación en forma pendiente-intersección. Primero, para escribir esta ecuación, necesitamos encontrar la pendiente. Podemos usar la información que tenemos para resolver la fórmula de la pendiente: m = ( y sub2 – y sub1) / ( x sub2 – x sub1). Inserte los números 12.5, 5, 30 y 6.75 y evalúe la ecuación:

m = (6,75 – 5) / (30 – 12,5)
m = 1,75 / 17,5
m = 0,1

Bien, para esta ecuación sabemos que la pendiente es 0.1, que es lo mismo que un aumento del precio del 10%. Ahora, necesitamos encontrar la intersección y de la ecuación. Usaremos la forma punto-pendiente para encontrar la intersección con el eje y . Podemos usar nuestro punto numerado más pequeño (12.5, 5) y nuestra pendiente, 0.1, para resolver la ecuación, aunque puede usar cualquier punto que elija. Inserte los números en la ecuación y evalúe:

( y – 5) = 0,1 ( x – 12,5)

Usa la propiedad distributiva.

y – 5 = 0,1 x – 1,25

Agrega términos similares.

y = 0,1 x + 3,75

Ahora sabemos que la función de oferta para el producto Xtreme Lemon de Max es y = 0.1 x + 3.75. Podemos ver esto representado en el gráfico como una línea.

Línea de la función de suministro

Básicamente, el 3,75 representa el costo total de fabricación del producto o el precio más bajo que se puede suministrar. Además, normalmente reemplazaría la y por una p para indicar el precio del producto y x por una q para indicar la cantidad de producto ofrecido. Dejé la y y la x mientras estábamos trabajando para evitar confusiones, pero realmente necesitas acostumbrarte a ver las funciones de suministro escritas así: p = 0.1 q + 3.75. También es bueno notar aquí que la pendiente de la función de oferta siempre será positiva.

Encontrar la función de demanda

Max realiza una encuesta para encontrar la función de demanda para su audiencia de consumidores. Encuentra que los consumidores están dispuestos a comprar 60 tazas de limonada si la limonada cuesta $ 4 la taza. También están dispuestos a pagar $ 7 por taza de limonada, pero solo comprarán 30 tazas. Esto tiene sentido porque es más probable que la mayoría de las personas compren una gran cantidad de un producto si es menos costoso. De hecho, la ley de la demanda establece que la cantidad demandada aumentará a medida que el precio del producto disminuya. ¡Intente pausar el video y trabaje las ecuaciones a medida que avanzamos!

Usemos primero la fórmula de la pendiente para calcular la tasa de esta ecuación. Inserte los números en la fórmula de la pendiente y evalúe. Mis puntos son (60, 4) y (30, 7):

m = ( y sub2 – y sub1) / ( x sub2 – x sub1)
m = (7 – 4) / (30 – 60)
m = 3 / -30
m = -0,1

Esto significa que la tasa es -10%. Cuanto más cueste el producto, menos comprarán los consumidores. Ahora que tenemos la pendiente, necesitamos encontrar la intersección y , que será el precio al que los consumidores comprarán 0 tazas de limonada. Vamos a utilizar la forma punto-pendiente para encontrar la Y interceptación: Y – Y SUB1 = m ( x – x SUB1). Inserte los números en la ecuación y evalúe:

y – 4 = -0,1 ( x – 60)

Usa la propiedad distributiva.

y – 4 = -0,1 x + 6

Agrega términos similares.

y = -0,1 x + 10

Nuestra ecuación final para la función de demanda es y = -.1 x + 10. Eso significa que a medida que aumenta el precio, la demanda del producto disminuye en un 10%. La intersección con el eje y nos dice que los clientes no comprarán limonada si cuesta $ 10 o más. La pendiente de una función de demanda siempre será negativa. Podemos ver esta función representada en este gráfico.

Gráfico de la función de demanda

-0,1 x + 10 = 0,1 x + 3,75

Evalúa la ecuación sumando términos semejantes.

10 = 0,2 x + 3,75
6,25 = 0,2 x

Divide cada lado por 0,2.

x = 31,25

Entonces esto nos dice que la cantidad de equilibrio es 31.25 tazas de limonada. Conectemos esto a nuestra función de oferta para calcular el precio de equilibrio:

y = 0,1 (31,25) + 3,75
y = 6,875

Entonces, Max y sus consumidores pueden estar felices con 31.25 unidades de limonada a aproximadamente $ 6.88 por taza de limonada. Podemos ver la cantidad de equilibrio y el precio representados en este gráfico.

El precio de equilibrio es la intersección de las funciones de oferta y demanda

Resumen de la lección

Para Max era importante encontrar el equilibrio de mercado de su producto. El equilibrio del mercado es cuando la cantidad de producto producido es igual a la cantidad demandada. Max pudo encontrar el equilibrio de mercado de su producto definiendo dos funciones: la función de oferta y la función de demanda.

La función de oferta representa el precio y la cantidad a la que Max está dispuesto a vender su limonada. La función de demanda representa el precio y la cantidad a la que los consumidores están dispuestos a comprar la limonada de Max. Ahora Max sabe exactamente cuánta limonada preparar y cuánto puede cobrar por su limonada.

Los resultados del aprendizaje

Mire esta lección, luego revísela detenidamente si su objetivo es:

• Comprender el equilibrio del mercado y las leyes de la oferta y la demanda.
• Recuerde cómo encontrar el equilibrio del mercado
• Distinguir entre la función de oferta y la función de demanda
• Calcular las funciones de oferta, demanda y equilibrio.
• Demuestre el equilibrio del mercado en un gráfico