Binomios: diferencia de dos cuadrados

Publicado el 22 noviembre, 2020

Diferencias de cuadrados

¿Alguna vez ha tenido que encontrar la diferencia entre dos cosas? Por ejemplo, encuentre la diferencia entre Bigotes el gato y Fido el perro. Hmmm… diferentes familias de animales: felino, canino. Aún así, la mayoría de las cosas no son completamente diferentes. Ambos animales tienen un pasatiempo común: dormir … En matemáticas, ‘diferente’ y ‘común’ pueden ser como ‘menos’ y ‘más’, y podemos usar ambos para encontrar la diferencia.

gato y perro durmiendo

¿Qué pasa si, en cambio, estamos tratando de encontrar la diferencia para un tipo especial de binomio , una expresión matemática con dos términos? Este binomio especial se compone de la diferencia de dos cuadrados, como a al cuadrado y b al cuadrado. Si lo reconocemos, podemos usar la fórmula de la diferencia de cuadrados : ( a 2b 2 ) = ( ab ) ( a + b ). La parte menos es ab , y la parte más es a + b . Exploremos cómo funciona esta fórmula mientras Whiskers y Fido duermen.

Usando la fórmula

Primero, aquí hay algunas preguntas: ¿cuánto es 8 al cuadrado? Respuesta: 8 2 es 64. Bien, ¿qué tal 6 al cuadrado? Respuesta: 6 2 es 36. ¿Ves cómo 64 – 36 es lo mismo que 8 2 – 6 2 ?

¿Qué pasa con la fórmula ( a 2b 2 ) = ( ab ) ( a + b )? ¿Reconoce 8 como una y 6 como la b ?

Usemos la fórmula de la diferencia de cuadrados para 8 y 6:

8 ^ 2-6 ^ 2

¡No es gran cosa! Podríamos haber restado fácilmente 36 de 64 para obtener la misma respuesta. Pero, ¿y si tuviéramos algo como 55 2 – 45 2 ? El camino más corto a la respuesta es reconocer una diferencia de cuadrados y usar la fórmula:

55 ^ 2-45 ^ 2

¿Estás impresionado todavía? No estoy seguro si Bigotes y Fido están impresionados porque todavía están dormidos.

Mientras esperamos que se despierten, exploremos por qué funciona esta fórmula. Si expandimos ( ab ) ( a + b ) obtenemos a ( a + b ) – b ( a + b ) que es a 2 + abbab 2 . El abba cancela, dejándonos con un 2b 2 . ¡Y es por eso que la fórmula funciona!

La clave para usar la fórmula es detectar una diferencia de dos términos donde los términos son cuadrados. Veamos qué tan buenos somos en esto. ¿Cuál de los siguientes binomios podría factorizarse (algo por algo) usando la fórmula de diferencia de cuadrados?

x 2 – 9

x 2 + 36

• 11 3 – 7 3

El primero es una diferencia de cuadrados y se puede factorizar como ( x – 3) ( x + 3).

En el segundo ejemplo, tenemos cuadrados pero no la diferencia, por lo que no usaremos la fórmula. En el tercer ejemplo, tenemos la diferencia pero no los términos al cuadrado, por lo que tampoco usaremos la fórmula de la diferencia de cuadrados aquí. (Por cierto, también hay una fórmula para la diferencia de cubos).

Llevando la fórmula más lejos

¿Y si tuviéramos 25 x 4 – 16 y 2 ? Hay una diferencia, pero ¿estamos tratando con cuadrados?

¡Si! Elevar al cuadrado 5 x 2 nos da 25 x 4 . Elevar al cuadrado 4 y nos da 16 y 2 . Usando la fórmula: 25 x 4 – 16 y 2 = (5 x 2 – 4 y ) (5 x 2 + 4 y ). Hemos recorrido un largo camino desde lo simple que parece a 2b 2 = ( ab ) ( a + b ).

¿Qué tal 32 x 4 – 2? Esto puede ser una diferencia de cuadrados, pero tenemos que factorizar un poco. Hacemos esto encontrando el MCD (máximo factor común), o el número más grande que divide ambos números.

El MCD de 32 y 2 es 2. Entonces, 32 x 4 – 2 se convierte en 2 (16 x 4 – 1). Ahora tenemos dos cuadrados entre paréntesis (recuerde que 1 es un cuadrado porque 1 * 1 = 1). Cuando usamos la fórmula, esto se convierte en 2 (4 x 2 – 1) (4 x 2 + 1).

¡Pero podemos ir aún más lejos! El (4 x 2 – 1) también es una diferencia de cuadrados. El uso de la fórmula convierte esto en (2 x – 1) (2 x + 1). Nuestra respuesta completa: 32 x 4 – 2 = 2 (2 x – 1) (2 x + 1) (4 x 2 + 1). Hasta aquí llegaremos por ahora porque Bigotes y Fido se han despertado y, a pesar de sus diferencias, ambos quieren comer.

Resumen de la lección

Cuando tenemos un binomio (una expresión matemática con dos términos) que es la diferencia de dos términos al cuadrado, podemos factorizar el binomio como el producto de una diferencia y una suma. Esto se llama la diferencia de fórmula cuadrados y está escrito como una 2b 2 = ( ab ) ( un + b ).

Reconocer cuándo puede usar la fórmula puede ser la parte más complicada. A veces puedes factorizar el MCD (máximo común divisor) en un binomio, por lo que puede ser una diferencia de cuadrados. A partir de ahí, puede usar la fórmula como lo hace normalmente.

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