Binomios: suma y diferencia de dos cubos

Sumas y diferencias de cubos

A veces, un vaso de té helado es la bebida más refrescante que puede tomar. Corta la sed en un día caluroso. Así que es realmente molesto si este precioso líquido se desperdicia cada vez que se agrega un cubito de hielo al vaso, desbordando la taza. Entra el cubo y sale un poco de té. Esos cubitos de hielo tienen volumen. El volumen de un cubo es un número multiplicado por tres veces. ¿Cómo podemos lidiar con sumar o restar cubos?

Factorizar significa reescribir algo como producto de otras cosas. En esta lección vamos a factorizar la suma y la diferencia de cubos. No cubitos de hielo, sino números en cubos. Y no la suma y la diferencia de té, agua y hielo, pero aun así saciará su sed matemática.

Cubicándolo

La mayoría de nosotros nos sentimos cómodos con el cuadrado de los números. Los cubos no son más duros, solo menos comunes. Cubrir un número significa multiplicarlo por sí mismo tres veces. Por ejemplo, ‘a’ al cubo es ‘a’ veces ‘a’ veces ‘a’. Escribimos ‘un cubo’ como un 3 . Desarrollemos nuestro vocabulario de cubos.

Comenzando muy fácil, ¿qué es 1 3 ? Lo resolvemos: 1 3 es 1 por 1 por 1, lo que equivale a … ¡correcto! 1 3 = 1.

¿Qué tal 2 3 ? Nuevamente, resolviéndolo: 2 x 2 x 2 = 8.

Aquí hay algunos otros:

• 3 3 es 27

• 4 3 es 64

• 5 3 es 125

¿Recuerdas cómo lidiar con exponentes elevados a una potencia? ¿Qué tal ( x 2 ) 3 ? Trabajando esto: ( x 2 ) 3 = x 2 veces x 2 veces x 2 = x (2 + 2 + 2) = x 6 . Aquí hay algunos otros:

• ( x y ) 3 es x 3 y 3

• ( x 2 y ) 3 es x 6 y 3

• (5 x 4 y 2 ) 3 es 125 x 12 y 6

El último ejemplo es una mezcla de coeficientes y exponentes elevados a una potencia. El 125 proviene de 5 3 , el 12 proviene de 4 por 3 y el 6 proviene de 2 por 3.

Mirando las fórmulas

¿Cómo factorizamos la suma de dos cubos? Usamos la fórmula:

No se preocupe, haremos muchos ejemplos.

También hay una fórmula para la diferencia de dos cubos:

Estas fórmulas se pueden verificar multiplicando los lados derechos. Al factorizar cubos, siga estos pasos:

• identificar la ‘a’ y la ‘b’ al cubo

• elija la fórmula de la suma de cubos o la fórmula de la diferencia de cubos

• sustituto de ‘a’ y ‘b’ en la fórmula

Es hora de mostrar las fórmulas en acción mientras agregas con cuidado algunos cubitos de hielo más al té.

Usando las fórmulas

Ejemplo 1

Digamos que le gustaría factorizar 125 – 64.

• Como 125 es 5 3 y 64 es 4 3 , identificamos la ‘a’ y la ‘b’: a = 5, b = 4.
• Usamos la fórmula de la diferencia de cubos: a 3 – b 3 = (a – b) (a 2 + ab + b 2 ).
• Sustituyendo por ‘a’ y ‘b’:

Por supuesto, esto concuerda con restar 64 de 125.

Ejemplo 2

¿Qué tal otro ejemplo pero usando la variable x ? Factoriza x 3 + 27.

• Identifica la ‘a’ y la ‘b’: Bueno, a = x y b = 3 porque 3 al cubo es 27.
• Usa la fórmula de la suma de cubos, que es: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 – ab + b 2 ).
• Ahora sustituya por ‘a’ y ‘b’:

¿Ves de dónde viene el 3 x ? Es ‘a’ multiplicado por ‘b’ de la fórmula, solo cambiado para que la variable no venga antes del número. ¿Qué tal el 9? Es el b 2 en la fórmula. Con ‘b’ igual a 3, b 2 es 3 2 que es igual a 9.

Ejemplo 3

¿Tienes ganas de probar uno? De acuerdo, factoriza 4 x 3 y – 500 y . Pista: primero, factoriza el máximo común denominador (MCD).

Este podría haberte desafiado un poco. A veces, los cubos están ocultos por un factor común. El MCD en este ejemplo es 4 y . Factorizar nos da:

¿Ves la ‘a’ como xy la ‘b’ como 5? El resto del trabajo se sustituye en la fórmula. Tan delicioso como el resto de este té helado.

Resumen de la lección

Factorizar la suma de cubos o la diferencia de cubos se realiza mediante las fórmulas respectivas:

Al factorizar cubos, siga estos pasos:

• identificar la ‘a’ y la ‘b’ al cubo

• elija la fórmula de la suma de cubos o la fórmula de la diferencia de cubos

• Sustituir por ‘a’ y ‘b’ en la fórmula. A veces es útil factorizar el máximo factor común antes de usar la fórmula adecuada.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador