Blackjack: encontrar los valores esperados de los juegos de azar con cartas

Sacar cartas y probabilidades dependientes

Calcular probabilidades con juegos de cartas puede resultar bastante complicado según el juego y la cantidad de jugadores. En este video, simplificaremos los juegos para facilitar el cálculo.

Suponga que saca dos cartas de una baraja estándar de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean Ases?

En caso de que no esté seguro, una baraja de cartas estándar tiene 4 palos llamados diamantes, corazones, tréboles y espadas. Por tanto, hay 13 cartas de cada palo numeradas del 2 al 10 y luego las figuras de Jack, Queen y King. La carta final, As, también se considera 1.

Entonces, estamos buscando dos ases. Aunque se están repartiendo dos cartas, para calcular la probabilidad, deben considerarse como dos cartas repartidas una tras otra. Llamémoslas tarjeta 1 y tarjeta 2.

Dado que hay 4 ases en la baraja y 52 cartas, la probabilidad de que la carta 1 sea un as es 4 de 52. Suponiendo que no reemplacemos esta carta, ahora quedan 51 cartas en la baraja y solo quedan tres ases. Por tanto, la probabilidad de que la carta 2 sea un As es 3 de 51. Cuando las probabilidades cambian así de un evento a otro, los llamamos eventos dependientes.

Para calcular la probabilidad final, multiplicamos las probabilidades anteriores ya que queremos un As y un As. Entonces, la probabilidad final de obtener dos ases cuando te reparten dos cartas de una baraja estándar de 52 es:

4 de 52 multiplicado por 3 de 51, lo que equivale a 12 de 2652, lo que se simplifica a 1 de 221, o aproximadamente 0,0045.

Por lo tanto, hay un 0,45% de posibilidades de obtener dos ases.

Ahora veamos algo un poco más complicado, como el juego de blackjack.

Veintiuna

James quiere aprender a ganar en el juego de blackjack . Otro nombre para este juego es 21. La idea es acercarse lo más a 21 puntos con la suma de las cartas que se te reparten de una baraja estándar de 52 cartas.

En el blackjack, o 21, cada carta vale la misma cantidad de puntos que el número que se muestra en la cara de la carta. Sin embargo, las figuras, Jota, Reina y Rey, valen 10 puntos cada una, y los Ases valen 1 u 11 puntos, dependiendo de lo que necesites para que la suma sea lo más cercana posible a 21.

Las reglas completas del blackjack en un casino son más complicadas, pero examinemos un juego simple para entender cómo funcionan las probabilidades.

A James se le reparten dos cartas de una baraja estándar de 52 cartas. Supongamos que es la única persona que juega a este juego. Las reglas son: Tiene que hacer una apuesta de $ 5 para jugar un juego. Si obtiene un As y una figura o un As y un Diez, tendrá una suma de 21, ¡lo que se llama blackjack! Y por la combinación de blackjack, gana $ 10. Pero tenga en cuenta que su ganancia es de solo $ 5 ya que pagó $ 5 para jugar.

¡Y, por cualquier otra cosa, pierde su apuesta de $ 5!

Después de cada juego, las cartas se reemplazan y el paquete se vuelve a barajar. Si James continúa jugando este juego, ¿qué puede esperar ganar o perder a largo plazo?

Para calcular el valor esperado de este juego, primero debemos entender cómo funcionan las cartas y encontrar la probabilidad de obtener un As y una figura o un Diez.

Hay dos escenarios a considerar: O James obtiene el As como carta 1 y luego obtiene la figura o Diez como carta 2, o obtiene la figura o Diez primero como carta 1 y luego el As como carta 2.

Cualquiera de esas combinaciones le da a James la mano ganadora. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de obtener esta combinación ganadora?

Veamos el escenario de obtener el As primero como carta 1 y la figura o Diez como carta 2. Dado que hay 4 palos, y por lo tanto cuatro Ases en la baraja para empezar, la probabilidad de obtener un As como primera carta es 4/52.

La siguiente carta tiene que ser una figura o un diez. ¿Cuántas figuras hay en el paquete? Dado que hay 4 palos y 3 figuras en cada palo, hay un total de 4 x 3 = 12 figuras en el paquete. Y hay cuatro Diez en el paquete. Entonces tenemos 12 + 4 = 16 cartas para elegir, ¿de cuántas quedan? ¡El tamaño del paquete ha cambiado desde que sacamos la tarjeta 1! Ahora solo hay 51 cartas en el paquete. Entonces, la probabilidad de obtener una figura o un Diez como tarjeta 2 es 16 de 51. Estos se denominan eventos dependientes ya que el primer resultado afectó al segundo resultado. Los eventos dependientes dependen unos de otros, ya que el resultado de uno afecta el resultado del otro.

Entonces, la probabilidad de obtener un As como carta 1 y una figura o un Diez como carta 2 es:

4/52 multiplicado por 16/51, lo que equivale a 16/663 cuando se simplifica.

Tenga en cuenta que multiplicamos las fracciones porque queremos la probabilidad de un evento Y otro evento. En los cálculos de probabilidad, Y es un mensaje para multiplicar.

Entonces, ¿qué pasa con la probabilidad de obtener la figura o el diez primero y luego el as? Bueno, si lo examinamos de cerca, esta será la misma probabilidad aunque los números estén invertidos. Esto se muestra en la tabla completa a continuación.

La probabilidad de obtener la figura o el Diez como carta 1 es 16/52 y luego la probabilidad de obtener el As como carta 2 es 4/51. Multiplicándolos, obtenemos 64/2652 que se simplifica a 16/663.

Debemos considerar ambos escenarios ya que ambos son posibles. Dado que uno u otro nos hará ganar $ 5 y la probabilidad de O es una indicación para sumar, la probabilidad de obtener un As y una figura o un Diez en cualquier orden cuando se nos reparten dos cartas de una baraja estándar de 52 cartas es 16/663 + 16/663, que equivale a 32/663, o aproximadamente 0,048. En otras palabras, cuando a James se le reparten dos cartas de una baraja estándar de 52 cartas, suponiendo que no se hayan tomado otras cartas, obtendrá la combinación de un As y una figura o un Diez aproximadamente el 4.8% del tiempo.

Y esto significa que no obtendrá esta combinación ganadora 100 – 4.8% del tiempo, que es aproximadamente 95.2%. Como probabilidad, esto es 0.952. Tenga en cuenta que pasamos de usar fracciones a decimales. Esto está perfectamente bien siempre que no redondeemos demasiado.

Entonces, ¿qué pasa con el valor esperado del juego?

Recordemos que James gana $ 5 por la combinación ganadora de As y una figura o Diez, pero pierde $ 5 por cualquier otra cosa. Para calcular el valor esperado, multiplicamos los valores de cada escenario por su probabilidad. Entonces tenemos

$ 5 * 0.048 = 0.24

Más

– $ 5 * 0,952 = -4,76.

Entonces, James puede esperar tener una ganancia de 0.24 menos 4.76, lo que equivale a $ 4.52 negativos. En otras palabras, James espera una pérdida de aproximadamente $ 4.52 cada vez que roba dos cartas. Esto se resume en la siguiente tabla.

Resumen de la lección

En este video, analizamos las probabilidades que involucran juegos de cartas. Dado que en la mayoría de los juegos las cartas se reparten y no se reemplazan, las probabilidades calculadas fueron ejemplos de eventos dependientes , donde el resultado de un evento, en este caso una carta, afecta el resultado de otro evento o la siguiente carta.

Para calcular estas probabilidades, separamos cada tarjeta como un evento. Por ejemplo, cuando se repartieron dos cartas de una baraja estándar de 52 cartas, la probabilidad de obtener dos ases se calculó como 4 de 52 para el primer as multiplicado por 3 de 51 para el segundo. Usando este método, calculamos la probabilidad de obtener 21 en el juego de blackjack. Desglosamos esto en obtener un As primero y luego una carta de figura o Diez O obtener una carta de figura o Diez primero y luego el As. Como había varias formas de obtener esta combinación, tuvimos que considerar cada opción y luego sumar las probabilidades. Finalmente, usamos la probabilidad para calcular el valor esperado para un juego de blackjack.

Los resultados del aprendizaje

Una vez finalizada esta lección, podrá:

• Recuerde cómo calcular la probabilidad de eventos dependientes.
• Recuerde las reglas y las combinaciones ganadoras del blackjack
• Calcule la probabilidad de ganar un juego de blackjack

Rodrigo Ricardo Editor y fundador