Caída Libre en Física: Definición, ecuaciones y ejemplos

Definición de caída libre

La física de caída libre está asociada con objetos sobre los que actúa únicamente la fuerza gravitacional de la Tierra. Para un objeto en caída libre, la única fuerza que actúa sobre él es su peso. Para responder a la pregunta “¿qué es la caída libre?” Consideremos a una persona sosteniendo una pelota y parada encima de una silla. Si la persona simplemente deja caer la pelota, su recorrido desde que se deja caer hasta que toca el suelo se llama caída libre. Durante la caída libre de la pelota, su aceleración es igual a la aceleración de la gravedad. Mire la siguiente derivación para comprender por qué esto es así.

Según la segunda ley del movimiento de Newton, la fuerza sobre la pelota de masa {eq}m {/eq} viene dada por {eq}F=ma {/eq}, donde {eq}a {/eq} es su aceleración.

Ahora, según la definición de caída libre, esta fuerza {eq}F {/eq} se debe únicamente al peso de la pelota {eq}W {/eq}, que viene dado por {eq}W=mg {/eq}, donde {eq}g {/eq} es la aceleración debida a la gravedad.

Es decir, {eq}Fuerza\: sobre\: la\: bola=Peso \:de \:la \:bola {/eq}

Por lo tanto, {eq}F=W\: \: \Rightarrow \: \: ma=mg\: \: \Rightarrow \: \: a=g {/eq}.

Esto implica que la aceleración de la pelota es igual a la aceleración de la gravedad. Esta aceleración es la misma para todos los objetos en caída libre, independientemente de su masa, tamaño o forma.

Ahora, el valor de {eq}g {/eq} en o cerca de la superficie de la Tierra se puede obtener utilizando la Ley de Gravitación de Newton.

Según esta ley, la fuerza gravitacional entre dos objetos cualesquiera es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos. Para la pelota en el ejemplo anterior, la fuerza gravitacional viene dada por

{eq}F_{g}=G\frac{Mm}{R^{2}} {/eq}, donde {eq}G {/eq} es la constante gravitacional universal, {eq}M {/eq} es la masa de la Tierra, y {eq}R {/eq} es el radio de la Tierra.

Esta fuerza también se puede expresar como

{eq}F_{g}=mg {/eq}

Igualando las dos expresiones tenemos

{eq}mg=G\frac{Mm}{R^{2}}\: \: \Rightarrow\: \: g=G\frac{M}{R^{2}} {/eq}

Ahora, las variables {eq}G {/eq}, {eq}M {/eq} y {eq}R {/eq} son constantes conocidas: {eq}G=6.7\times 10^{-11}\: Nm^{2}kg^{-2} {/eq}, {eq}M=6\times 10^{24}\: kg {/eq} y {eq}R=6,4\times 10^{ 6}\: m {/eq}.

Sustituyendo estos valores constantes en la ecuación anterior, obtenemos

{eq}g=(6.7\times 10^{-11})\times \frac{(6\times 10^{24})}{(6.4\times 10^{6})^{2}}=9.8 \:ms^{-2} {/eq}

Este es el valor de la aceleración debida a la gravedad sobre o cerca de la superficie de la Tierra.

Supuestos de caída libre

En física de caída libre, se consideran las siguientes suposiciones para el objeto en caída libre.

• El objeto sólo experimenta la fuerza gravitacional de la Tierra: en caída libre, se cree que el objeto en cuestión viaja a través del vacío; Se ignora la resistencia del aire ofrecida por la atmósfera terrestre y la fuerza de arrastre asociada.
• La distancia entre el objeto y el núcleo de la Tierra es {eq}R {/eq}: aunque para los objetos que se encuentran sobre la superficie, la distancia es ligeramente mayor que el radio {eq}R {/eq} de la Tierra, la altura del objeto desde la superficie es insignificante en comparación con el radio de la Tierra y, por lo tanto, se ignora en el cálculo de la aceleración debida a la gravedad {eq}g {/eq}.
• El valor de {eq}R {/eq} es constante: Aunque la Tierra no es una esfera perfecta y el valor de {eq}R {/eq} difiere ligeramente en el ecuador y en los polos, el valor de {eq} g {/eq} generalmente se toma como una constante {eq}9.8\:ms^{-2} {/eq} en todo momento.

Ecuaciones cinemáticas de caída libre

El estado de movimiento de un objeto en caída libre está definido por tres ecuaciones de movimiento. Estas tres ecuaciones se utilizan para determinar varios parámetros de caída libre (como la velocidad de caída libre, el tiempo y la distancia recorrida) dependiendo de qué variables se conocen y cuáles se desconocen.

Para derivar las ecuaciones cinemáticas de caída libre, considere un objeto en caída libre. Durante la caída libre, sobre el objeto actúa únicamente la fuerza de la gravedad y, por lo tanto, su aceleración es igual a la aceleración de la gravedad {eq}g {/eq}. Al construir las ecuaciones cinemáticas de caída libre, {eq}g {/eq} se toma como negativo ya que la aceleración debida a la gravedad actúa en dirección hacia abajo (o a lo largo del eje y negativo). Bajo esta aceleración constante hacia abajo, la velocidad del objeto aumenta a medida que cae al suelo.

Primera ecuación de caída libre

Sea la velocidad inicial del objeto {eq}v_{0} {/eq} y la velocidad después del tiempo {eq}t {/eq} sea {eq}v {/eq}. Como la aceleración (aquí {eq}-g {/eq}) es el cambio de velocidad por unidad de tiempo, tenemos

{eq}-g=\frac{v-v_{0}}{t}\: \: \Rightarrow \: \: -gt=v-v_{0} {/eq}

{eq}\Rightarrow \: \: v=v_{0}-gt {/eq}

Esta es la primera ecuación de caída libre. Se utiliza para encontrar la velocidad después de un cierto intervalo de tiempo cuando se conocen la velocidad inicial y el intervalo de tiempo.

Segunda ecuación de caída libre

La distancia {eq}s {/eq} recorrida en el tiempo {eq}t {/eq} de caída libre es igual al producto de la velocidad promedio {eq}v_{avg} {/eq} y el tiempo {eq}t {/eq}, es decir, {eq}s=v_{avg}\times t {/eq}.

Ahora, la velocidad promedio {eq}v_{avg}=\frac{(v+v_{0})}{2} {/eq}. Entonces tenemos

{eq}s=\frac{(v+v_{0})}{2}\times t {/eq}

Pero para expresar la distancia recorrida únicamente en términos de la velocidad inicial (y no de la velocidad después del tiempo {eq}t {/eq}), la primera ecuación de caída libre {eq}v=v_{0}-gt {/eq} se puede utilizar para sustituir {eq}v {/eq} en la expresión anterior.

De este modo,

{eq}s=\frac{((v_{0}-gt)+v_{0})}{2}\times t=\frac{v_{0}t}{2}-\frac{gt^{ 2}}{2}+\frac{v_{0}t}{2} {/eq}

{eq}\Rightarrow s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} {/eq}

Esta es la segunda ecuación de caída libre. Se utiliza para encontrar la distancia recorrida en un determinado intervalo de tiempo cuando se conocen la velocidad inicial y el intervalo de tiempo.

Tercera ecuación de caída libre

La tercera ecuación de caída libre se utiliza para encontrar la velocidad después de un cierto intervalo de tiempo cuando se conocen la velocidad inicial y la distancia recorrida en ese intervalo de tiempo. Para obtener esta ecuación se utilizan la primera y segunda ecuaciones de caída libre.

Tenemos la primera ecuación,

{eq}v=v_{0}-gt\: \: \Rightarrow \: \: t=\frac{v_{0}-v}{g} {/eq}

Usando la expresión anterior de {eq}t {/eq} en la segunda ecuación, obtenemos

{eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}=v_{0}\frac{(v_{0}-v)}{g}-\frac{1} {2}g\frac{(v_{0}-v)^{2}}{g^{2}} {/eq}

{eq}\Rightarrow 2gs=2v_{0}^{2}-2v_{0}v-v_{0}^{2}+2v_{0}vv^{2}=v_{0}^{2}- v^{2} {/eq}

{eq}\Rightarrow v^{2}=v_{0}^{2}-2gs {/eq}

Esta es la tercera ecuación de caída libre.

Aplicación de la ecuación de caída libre para la resolución de problemas

Para un objeto en caída libre, tenemos las ecuaciones cinemáticas de caída libre:

• {eq}v=v_{0}-gt {/eq}
• {eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} {/eq}
• {eq}v^{2}=v_{0}^{2}-2gs {/eq}

Como inicialmente el objeto simplemente se deja caer, su velocidad inicial es 0, es decir, {eq}v_{0}=0 {/eq}.

Ahora, la aceleración del objeto es constante e igual a {eq}g=9.8\:ms^{-2} {/eq} durante todo el movimiento de caída libre, pero su velocidad aumenta a medida que cubre más distancia con el tiempo.

Sustituyendo diferentes valores para {eq}t\:(=0\:s, 1\:s, 2\:s, 3\:s,…) {/eq} en las dos primeras ecuaciones, la velocidad y la distancia cubiertos después de que se pueda determinar cada intervalo de tiempo.

En {eq}t=0\:s {/eq},

• {eq}v=v_{0}-gt=0-9.8\times 0=0 {/eq}
• {eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}=0-\frac{1}{2}\times 9.8\times 0^{2}=0 {/eq }.

En {eq}t=1\:s {/eq},

• {eq}v=v_{0}-gt=0-9.8\times 1=-9.8\:ms^{-1} {/eq}
• {eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2}=0-\frac{1}{2}\times 9.8\times 1^{2}=-4.9\: m {/eq}.

De manera similar, la velocidad y la distancia se pueden obtener para {eq}t=2\:s,3\:s, {/eq} y así sucesivamente. Esto se muestra en la siguiente figura.

Tenga en cuenta que para la velocidad también se puede utilizar la tercera ecuación, pero esto requiere que se conozca de antemano la distancia recorrida {eq}s {/eq}.

Problemas de ejemplo

Para entender cómo resolver las ecuaciones de caída libre de un objeto, considere los siguientes ejemplos.

Ejemplo 1

Una bicicleta cae a una zanja en cuestión de segundos. ¿Cuál es su velocidad cuando llega al fondo de la zanja?

La información conocida aquí es:

El tiempo necesario para la caída libre de la bicicleta {eq}t=1\:s {/eq}, la aceleración que actúa sobre la bicicleta {eq}g=9.8\:ms^{-2} {/eq} y su velocidad inicial {eq}v_{0}=0 {/eq}.

Considere la ecuación de caída libre

{eq}v=v_{0}-gt {/eq}

Sustituyendo los valores disponibles obtenemos

{eq}v=0-9,8\times 1=-9,8\:ms^{-1} {/eq}

Por lo tanto, la velocidad requerida de la bicicleta es {eq}9,8\:ms^{-1} {/eq} en dirección hacia abajo.

Ejemplo 2

Una niña deja caer una piedra en un pozo seco y oye cómo la piedra golpea el suelo del pozo después de {eq}4\:s {/eq}. ¿Cuál es la profundidad del pozo?

Cuando se deja caer la piedra, su velocidad inicial {eq}v_{0}=0 {/eq}. El tiempo necesario {eq}t=4\:s {/eq} y la aceleración que actúa sobre el guijarro {eq}g=9.8\:ms^{-2} {/eq}.

La profundidad requerida del pozo es igual a la distancia recorrida por el guijarro durante su caída libre, que está dada por

{eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} {/eq}

Sustituyendo los valores conocidos, obtenemos la distancia como

{eq}s=0\times 4-\frac{1}{2}\times 9,8\times 4^{2}=-78,4\:m {/eq}

Por tanto, la profundidad del pozo es {eq}78,4\:m {/eq}.

Ejemplo 3

Una rama cae desde el punto más alto de un árbol de {eq}10\:m {/eq}. ¿Después de qué tiempo llegará al suelo?

Los valores disponibles del problema son:

La velocidad inicial {eq}v_{0}=0 {/eq} de la rama, la distancia recorrida por la rama en dirección hacia abajo {eq}s=-10\:m {/eq} y la aceleración conocida debida a la gravedad {eq}g=9.8\:ms^{-2} {/eq}.

La variable que falta es el tiempo que tarda esta caída libre {eq}t=? {/eq}

Considere la segunda ecuación de caída libre,

{eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} {/eq}

Sustituyendo los valores disponibles tenemos

{eq}-10=0-\frac{1}{2}\times 9,8\times t^{2} {/eq}

Reordenando esta expresión para calcular el tiempo, obtenemos

{eq}t=\sqrt{\frac{10\times 2}{9,8}}=1,4\: s {/eq}

Así, la rama tarda {eq}1,4\: s {/eq} en llegar al suelo.

Ejemplo 4

Dos niños idean un juego en el que tienen que tocar el techo de su habitación con un papel arrugado. Ambos niños tienen la misma altura y el papel arrugado debe recorrer una distancia de {eq}3,27\:m {/eq} para tocar apenas el techo. ¿Cuál es la velocidad mínima con la que se debe lanzar el papel arrugado?

Las variables conocidas son:

La distancia {eq}s=3,27\:m {/eq} y la aceleración debida a la gravedad {eq}g=9,8\:ms^{-2} {/eq}.

La velocidad del papel arrugado cuando apenas toca el techo {eq}v=0 {/eq}.

Para encontrar la velocidad inicial mínima, considere la ecuación

{eq}v^{2}=v_{0}^{2}-2gs {/eq}

Sustituyendo los valores disponibles tenemos

{eq}0^{2}=v_{0}^{2}-2\times 9,8\times 3,27 {/eq}

{eq}\por lo tanto v_{0}=\sqrt{2\times 9.8\times 3.27}=\sqrt{64}=8\:ms^{-1} {/eq}

Por lo tanto, el trozo de papel debe lanzarse con una velocidad mínima de {eq}8\:ms^{-1} {/eq}.

Ejemplo 5

Un jugador lanza una pelota verticalmente hacia el aire con una velocidad inicial de {eq}29,4\:ms^{-1} {/eq}. Calcula la altura máxima de la pelota y encuentra el tiempo después del cual la pelota regresa a la mano del jugador.

Dado, {eq}v_{0}=29,4\:ms^{-1} {/eq}. En la altura máxima, la velocidad de la pelota será 0, es decir, {eq}v=0 {/eq}. Además, la aceleración que actúa sobre la pelota es {eq}g {/eq}.

Considere la ecuación

{eq}v^{2}=v_{0}^{2}-2gs {/eq}

Sustituyendo los valores dados tenemos

{eq}0^{2}=(29,4)^{2}-2\times 9,8\times s {/eq}

Reordenando y resolviendo la altura, obtenemos

{eq}s=\frac{(29,4)^{2}}{9,8\times 2}=44,1\:m {/eq}

Por tanto, la altura máxima de la pelota es {eq}44,1\:m {/eq}.

Ahora, para determinar la duración del tiempo, considere la ecuación

{eq}v=v_{0}-gt {/eq}

Sustituyendo los valores disponibles obtenemos

{eq}0=29,4-9,8\times t {/eq}

{eq}\por lo tanto t=\frac{29.4}{9.8}=3\:s {/eq}

Este es el tiempo necesario para que la pelota alcance su altura máxima.

Por tanto, el tiempo total que tarda la pelota en regresar al jugador es {eq}3+3=6\:s {/eq}.

Resumen de la lección

Se dice que un objeto está en caída libre cuando la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de gravedad. La fuerza {eq}F {/eq} que actúa sobre un objeto en caída libre es igual a su peso {eq}W {/eq}.

{eq}F=W\: \: \Rightarrow \: \: ma=mg\: \: \Rightarrow \: \: a=g {/eq}

Es decir, la aceleración del objeto es igual a la aceleración debida a la gravedad, independientemente de cuál sea la masa, forma o tamaño del objeto.

La afirmación anterior es cierta cuando se considera que el objeto cae libremente en el vacío; Se ignora la resistencia del aire y la fuerza de arrastre asociada que ofrece la atmósfera.

Las siguientes ecuaciones de caída libre se utilizan para estudiar la cinemática de objetos en caída libre:

• {eq}v=v_{0}-gt {/eq}
• {eq}s=v_{0}t-\frac{1}{2}gt^{2} {/eq}
• {eq}v^{2}=v_{0}^{2}-2gs {/eq}

Aquí, {eq}v_{0} {/eq} y {eq}v {/eq} son las velocidades inicial y final, respectivamente, {eq}s {/eq} es la distancia recorrida por el objeto en caída libre en el tiempo. {eq}t {/eq} y {eq}g=9.8\:ms^{-2} {/eq} es la aceleración debida a la gravedad.