Aritmética modular (» Reloj »)
¿Alguna vez ha tenido problemas para convertir entre 12 horas y 24 horas? Entonces estás luchando con la aritmética modular. A menudo, el truco que escuchará a la gente usar para convertir de 24 horas a 12 horas es restar 12 de la hora. Es decir, si la hora actual es algo así como 14:23, restamos 12 de la hora (14) para encontrar que la hora es 2:23 pm. Vamos a hablar sobre cómo funciona esto y cómo podemos sumar y multiplicar números usando aritmética modular.
Los basicos
La aritmética modular se usa para medir la distancia desde un número entero hasta el múltiplo más cercano de un número en particular, llamado módulo . ¿Recuerda los problemas de la escuela primaria en los que tenía que encontrar el resto después de resolver un problema de división? El resto es la distancia desde el dividendo (el número que se divide) hasta el divisor (el número por el que estamos dividiendo). Por lo tanto, al hacer aritmética modular, podemos sumar, restar y multiplicar residuos.
Para hacer aritmética modular, primero debemos elegir un módulo. Por ejemplo, podríamos elegir un módulo de 12, que es lo que usamos para decir la hora. Cuando dividimos un número entero por este módulo, su resto es siempre no negativo y menor que el módulo.
Por ejemplo, cuando divido cualquier número entre 12, los únicos restos posibles son los enteros 0-11. Debido a esto, podemos representar cada número entero por su resto después de dividirlo por el módulo. Esto divide los enteros en clases de congruencia , o conjuntos de enteros que tienen el mismo resto cuando se dividen por un módulo particular. Por ejemplo, 1, 13, 25 y 37 tienen un resto de 1 cuando se dividen por 12. Todos están en la misma clase de congruencia cuando se trabaja con un módulo de 12.
Cuando dos números enteros están en la misma clase de congruencia de un módulo n , decimos que están módulo equivalente n oa veces sólo mod equivalente n . Por ejemplo, 1 es equivalente a 13 módulo 12 ya que ambos tienen un resto de 1 cuando se dividen entre 12. Representamos esto simbólicamente escribiendo lo siguiente:
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Usamos ≡ en lugar de = para mostrar que, si bien los números pueden no ser iguales por sí mismos, los números comparten una característica importante; son mod n equivalentes .
Reducir mod n
Cada clase de congruencia tiene infinitos miembros. Por ejemplo, si es mediodía en este momento, dentro de 1 hora será la 1 en punto. Dentro de 13 horas, también será la 1 en punto. En 25 horas volverá a ser la 1 en punto, y así sucesivamente. Dado que cada clase de congruencia tiene un número infinito de miembros, usamos el resto que determina la clase para representar la clase, al igual que todas las horas mencionadas anteriormente fueron la 1 en punto.
Para ponerlo en el lenguaje de la aritmética modular, 1, 13 y 25 están todos en la misma clase de congruencia módulo 12, ya que todos tienen un resto de 1 cuando se dividen por 12. Decimos que están en la clase de congruencia de 1 mod 12. Observe que esto significa que cada clase de congruencia está representada por un número entero menor que el módulo, ya que los residuos son siempre menores que el módulo.
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Cuando se le da un número entero, reducir ese número entero módulo n significa que encontramos la clase de congruencia a la que pertenece. Por ejemplo, si tuviéramos que reducir 37 mod 12, podríamos usar una división larga para determinar que el resto al dividir por 12 es 1.
Sin embargo, suele haber una forma más sencilla. Podemos restar múltiplos del módulo del entero dado hasta llegar a un número menor que el módulo, que debe ser el resto al dividir por el módulo. Para hacer esto, reduzcamos 97 mod 15. Sé que 60 es un múltiplo de 15, entonces resto 60 de 97, dando 37. El número 37 es aún mayor que 15, entonces resto 30, otro múltiplo conocido de 15, dejando 7. Así, tenemos lo siguiente:
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Haciendo aritmética modular
Como se mencionó anteriormente, podemos sumar, restar y multiplicar con aritmética modular. La división, sin embargo, solo funciona en casos seleccionados que están más allá del alcance de esta lección. De hecho, hacemos aritmética modular siempre que hacemos aritmética con el tiempo. Digamos, por ejemplo, que ahora son las 8 pm y queremos saber a qué hora van a ser dentro de 7 horas. Para hacer esto, sumamos 8 + 7 = 15, y luego restamos 12, lo que nos dice que serán las 3 am dentro de 7 horas. La aritmética modular funciona de la misma manera. En el lenguaje de la aritmética modular, para averiguar qué hora son 7 horas después de las 8 pm, hicimos lo siguiente:
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Probemos con un ejemplo más difícil. Digamos que estábamos tratando de resolver este problema:
46 + 25 ≡ _____ mod 7
En lugar de sumar estos números, primero podemos reducirlos módulo 7 y luego sumarlos; obtenemos la misma respuesta de cualquier manera. Echale un vistazo:
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Podemos hacer lo mismo con la multiplicación y la resta.
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Resumen de la lección
La aritmética modular siempre vuelve a los residuos; miramos un número y tratamos de determinar su resto al dividir por el módulo . Recuerde que el módulo puede ser cualquier número entero. En esta lección, trabajamos con números enteros relativamente pequeños, pero se puede usar cualquier número entero. Los números que son equivalentes módulo n tienen el mismo resto cuando se dividen por n . Los conjuntos de números que son equivalentes módulo n forman clases de congruencia , que representamos con su resto común al dividir por n . Esto nos permite sumar, restar y multiplicar residuos rápidamente en aritmética modular.
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