Cambio de fórmula base: logaritmos y prueba

Logaritmos

Comencemos con una revisión básica de logaritmos. El logaritmo (log) de un número es el exponente al que se debe elevar un número fijo para que sea igual a un número dado. En términos matemáticos:

Donde b es la base, a es el número de conjunto y c es el número dado.

Por ejemplo,

Las funciones de registro son importantes en muchas áreas de la ciencia, los negocios y la ingeniería. Por ejemplo, la escala de Richter que mide la intensidad de los terremotos es una escala logarítmica. El crecimiento de bacterias se mide mediante funciones logarítmicas. Y los corredores de bolsa pueden utilizar funciones de registro para predecir el crecimiento de una cartera de acciones.

La fórmula del cambio de base

A menudo, las ecuaciones logarítmicas se escriben con una base que no se puede calcular fácilmente. Las calculadoras científicas están diseñadas para calcular registros que tienen una base de diez. Las soluciones a los registros con otras bases se pueden encontrar utilizando gráficos o cálculos simples. Algunos son fáciles, como en el ejemplo anterior. La base es 3, y el problema es preguntar ‘¿a qué exponente debe elevarse 3 para que sea igual a 9?’ Y, por supuesto, la respuesta es 2. Otros pueden ser más difíciles, como los siguientes:

Cuando se convierte a formas exponenciales, esta ecuación se convierte en 7 ^ x = 13. Este problema es imposible de resolver sin mirar una miríada de tablas o adivinar mil (o más) veces hasta que se acerque.

La forma más sencilla de resolver un problema como este es utilizar la fórmula de cambio de base . Le permitirá convertir la base de cualquier logaritmo en algo más utilizable. La mayoría de las veces, lo usará para convertir la base a 10, ya que esto es lo que usa su calculadora. El cambio de fórmula base es el siguiente:

Para usar esto para resolver el problema de ejemplo, podemos insertar los números para obtener esta ecuación:

Dado que los registros ahora están en base 10, puede usar su calculadora para resolver.

1,1134 / 0,845 = x
x = 1,318
Lo que significa que 7 ^ 1,318 = 13

Como ocurre con muchos problemas de matemáticas, hay una forma de verificar su respuesta. Simplemente realice el cálculo del exponente que resulta de encontrar el registro, y si obtiene la respuesta correcta, su problema es correcto.

Para este ejemplo, si ingresa 7 ^ 1.318 en su calculadora, debería obtener 13, o un número muy cercano, que se redondea fácilmente a 13.

Probemos con otro ejemplo: log_4 (25) = x

Dado que es difícil resolver un registro con la base de 4, podemos usar la fórmula de cambio de base para convertirlo. log (25) / log (4). Esto se convierte en 1.3979 / 0.6021
2.3217 (Cuando se escriben los logaritmos con una base de 10, el 10 generalmente se entiende y no se escribe).

Prueba

Hay una prueba del cambio de fórmula base. Las matemáticas para mostrar cómo funciona son en realidad bastante simples, aunque a veces pueden parecer desordenadas.

Comience llamando al registro que estamos buscando y . Esto nos da log_ a ( x ) = y . Ahora escribimos eso en forma exponencial: x = a ^ y .

Ahora queremos resolver esta ecuación para y , usando solo registros base b , no registros base a . Para hacer esto, tomamos el registro de cada lado: log_ b ( x ) = log_ b ( a ^ y ).

Ahora simplificamos el lado derecho: log_ b ( x ) = y log_ b ( a ).

Para obtener y por sí solo, solo tenemos que dividir ambos lados por log_ b ( a ), que se ve así: log_ b ( x ) / log_ b ( a ) = y .

Sustituyendo log_ a ( x ) de nuevo por y tenemos: log_ a ( x ) = log_ b ( x ) / log_ b ( a ).

Resumen de la lección

La fórmula de cambio de base es una manera fácil de resolver logaritmos que tienen una base distinta de 10. Esta fórmula le permite usar su calculadora, que está programada para resolver logaritmos con base 10, en lugar de depender de operaciones matemáticas complejas o usar una tabla para encontrar la respuesta.

Los resultados del aprendizaje

Una vez que haya terminado con esta lección, debería poder:

• Indique el cambio de fórmula base para logaritmos
• Use la fórmula de cambio de base para resolver un logaritmo con una base diferente a 10

Rodrigo Ricardo Editor y fundador