Cociente de diferencia: definición, fórmula y ejemplos

Publicado el 22 noviembre, 2020

¿Cociente de diferencias?

Cuando escuchó por primera vez el término ‘cociente de diferencias’, es posible que haya dejado un espacio en blanco. Después de todo, involucra tantos elementos, como funciones y secantes y gráficas, y peor aún, una fórmula loca que lo reúne todo. Sin embargo, déjeme asegurarle que una vez que termine esta lección, definitivamente será un experto en el uso del cociente de diferencias. Comencemos con la definición: el cociente de diferencias se usa para calcular la pendiente de la recta secante entre dos puntos en la gráfica de una función, f .

Gráfico de cociente diferencial

Solo para repasar, una función es una línea o curva que tiene solo un valor de y para cada valor de x . Es como una máquina de entrada / salida. Para cualquier número x que conecte a la función, obtendrá un valor de salida para f ( x ).

En términos simples, el cociente de diferencias nos ayuda a encontrar la pendiente cuando trabajamos con una curva. En el caso de una curva, no podemos utilizar la fórmula tradicional de:

fórmula de pendiente

por eso debemos usar la fórmula del cociente de diferencias.

En la definición formal del cociente de diferencias, observará que la pendiente que estamos calculando es para la recta secante. Una línea secante es cualquier línea que pasa entre dos puntos en una curva. Etiquetamos estos dos puntos como x y ( x + h ) en nuestro eje x. Debido a que estamos trabajando con una función, estos puntos están etiquetados como f ( x ) y f ( x + h ) en nuestro eje y, respectivamente.

Ahora que entendemos la definición del cociente de diferencias, exploremos la fórmula.

Cociente de diferencias

Encontrar f ( x + h )

El primer paso necesario para encontrar el cociente de diferencias es encontrar nuestra f ( x + h ). Cuando trabaje con una función, todo lo que tiene que hacer es conectar ( x + h ) en su función siempre que vea una x .

Veamos la función: f ( x ) = 2 x + 6.

Para encontrar nuestra f ( x + h ), necesitamos insertar ( x + h ) en la función donde veamos una x .

f (x + h) = 2x + 6

Una vez que tenemos nuestro ( x + h ) conectado a la función, debemos simplificar nuestra expresión. En este caso, multiplicamos todo lo que está dentro del paréntesis por dos para obtener:

F (x + h) = 2x + 2h + 6

Veamos una función más difícil: f ( x ) = 3 x ^ 2 + 4.

Nuevamente, debemos insertar ( x + h ) en la función siempre que veamos una x .

Conectando (x + h) a f (x + h)

Ahora, para simplificar la expresión, debemos usar el método FOIL para expandir nuestro ( x + h ) ^ 2. Recuerde, FOIL significa:

  • Multiplica los primeros números: 3 (x + h) ^ 2
  • Multiplica los números externos : 3 (x + h) (x + h)
  • Multiplica los números internos : 3 (x ^ 2 + xh + xh + h ^ 2)
  • Multiplica los últimos números: 3 (x ^ 2 + 2xh + h ^ 2)
ALUMINIO para (x + h) ^ 2

Luego conectamos nuestra expresión frustrada nuevamente en la función para obtener:

Conectando el FOIL de nuevo

Para terminar de simplificar la expresión, multiplicamos todo lo que está dentro del paréntesis por tres.

Solución para f (x + h)

No es demasiado difícil hasta ahora, ¿verdad?

Encontrar el cociente de diferencia

Ahora que entendemos cómo encontrar f ( x + h ), podemos reemplazar nuestros valores en la fórmula del cociente de diferencias y simplificar a partir de ahí.

Usemos nuestro ejemplo anterior de f ( x ) = 3 x ^ 2 + 4.

Podemos sustituir la expresión que encontramos para f ( x + h ) y nuestra expresión para f ( x ) para obtener un cociente de diferencia de:

DQ con f (x + h) yf (x) enchufados

Es extremadamente importante mantener cada segmento del cociente de diferencias dentro de su propio conjunto de paréntesis. Esto significa que f ( x + h ) debería estar dentro de su propio conjunto de paréntesis y f ( x ) debería estar dentro de su propio conjunto de paréntesis.

Paso simplificando y resolviendo

Este paso es donde algunos estudiantes cometen errores al trabajar con el cociente de diferencias. Es importante tener en cuenta el signo de resta entre f ( x + h ) y f ( x ). Este signo de resta nos dice que cambiemos el signo en todo lo que esté dentro del paréntesis a su derecha. Esto nos permite deshacernos de nuestros paréntesis.

Quitando los paréntesis

Una vez que tengamos la expresión escrita sin el paréntesis, podemos comenzar a simplificar nuestros términos.

Lo primero que hay que tener en cuenta es si hay términos que sean iguales. En este caso, tenemos un 3 x ^ 2 y un -3 x ^ 2. Debido a que son signos opuestos, se cancelan entre sí. También tenemos un cuatro positivo y un cuatro negativo que se anulan entre sí.

Cancelando en nuestro DQ

Después de limpiar la expresión, nos quedamos con:

DQ simplificado

Mirando nuestro numerador, vemos que ambos números comparten una h . Esto significa que podemos factorizar una h de nuestro numerador.

h factorizado

Ahora, podemos ver claramente que tanto nuestro numerador como nuestro denominador son factores de h . Nuestras reglas de fracciones nos dicen que luego podemos cancelarlas para darnos nuestro cociente de diferencias simplificado.

Solución

¡Lo hicimos! Cuando aborda los cocientes de diferencia como una serie de pasos, ¡los problemas se vuelven mucho más manejables!

¡Vamos a practicar!

Ahora que tenemos las herramientas para encontrar el cociente de diferencias, resolvamos esta función: f ( x ) = 2 x ^ 2 + 4 x – 3.

Recuerde, primero debe encontrar su f ( x + h ) conectando ( x + h ) donde vea una x . Luego, inserta tu f ( x + h ) yf ( x ) en el cociente de diferencias. ¡No olvides tus paréntesis! Termina cambiando todos los signos después del menos entre f ( x + h ) y f ( x ) y busca cosas que puedas cancelar para simplificar la expresión. La respuesta es:

4x + 2h + 4

Resumen de la lección

En esta lección, se convirtió en un experto en el uso del cociente de diferencias para encontrar la pendiente de la recta secante para una función dada. En particular, aprendió a separar cada parte del cociente de diferencias para que sea mucho más fácil de resolver.

Primero, conecte ( x + h ) en su función donde vea una x . Una vez que encuentre f ( x + h ), puede insertar sus valores en la fórmula del cociente de diferencias y simplificar desde allí. En el tercer paso, usa el signo de resta para eliminar el paréntesis y simplificar el cociente de diferencias.

Términos clave

Máquina de entrada-salida que representa funciones

Cociente de diferencia : se utiliza para calcular la pendiente de la recta secante entre dos puntos en la gráfica de una función, f

Línea secante : cualquier línea que pase entre dos puntos en una curva.

FOIL : un mnemónico que ayuda a recordar el orden para multiplicar dos binomios: primero, exterior, interior, último

Los resultados del aprendizaje

El uso de esta lección para recopilar información sobre el cociente de diferencias podría prepararlo para:

  • Localizar una recta secante en la gráfica de una función
  • Registre la fórmula del cociente de diferencias
  • Encuentra el cociente de diferencias para una recta secante

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