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Cómo encontrar el determinante de una matriz 4×4

Publicado el 8 diciembre, 2020

Preparando el problema

Henry es un estudiante de posgrado que ha estado trabajando durante meses en un problema de teoría financiera. Ve los resultados de sus últimos datos en un correo electrónico en su teléfono mientras viaja como mochilero. Le queda un conjunto de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas que puede configurar en una matriz de 4 x 4 como se muestra aquí:

determinante de la matriz 4x4

Henry está muy, muy interesado en saber cuál es el determinante de esta matriz. ¿Qué es un determinante y por qué Henry está tan interesado? Un determinante es un número único y específico asociado con una matriz cuadrada. Si el determinante de esta matriz es igual a cero, significará al menos otros meses de investigación. Pero si el determinante es distinto de cero, habrá hecho un descubrimiento significativo en su campo y podrá obtener su título durante el próximo año.

Henry intenta varias veces navegar a un sitio de calculadora determinante, que respondería a su pregunta en unos segundos, pero la señal es demasiado débil y sigue fallando. Eventualmente su batería se agota, dejándolo solo con la opción de calcular el determinante a mano. Gime y saca su lápiz y papel. Echemos un vistazo más de cerca a cómo encuentra el determinante.

Hay varias formas diferentes de encontrar el determinante de una matriz de 4 x 4, pero le mostraremos cómo hacerlo mediante la expansión a lo largo de cualquier fila o columna de una matriz. Cuando haya elegido qué columna o fila expandir, el determinante es simplemente cada elemento de esa fila o columna multiplicado por el determinante de la submatriz de ese elemento con el signo apropiado. Una submatriz es la parte de la matriz original que no incluye los elementos de la misma fila o columna que el elemento actual. Esto suena un poco confuso, pero en realidad es bastante fácil una vez que ves cómo se hace. Llegaremos al primer ejemplo en breve.

Primero, necesitamos hablar sobre el signo apropiado que acabamos de mencionar. En la matriz aquí, hemos mostrado los signos asociados con los elementos que se están expandiendo.

determinante de la matriz 4x4

Por ejemplo, si expandiera la fila superior de una matriz de 4 x 4, el primer y tercer elemento de la fila se multiplicarían por +1, mientras que el segundo y cuarto elementos se multiplicarían por -1.

Ahora que entendemos esos signos y qué es una submatriz, podemos elegir una fila o columna para expandir. Pero, ¿cuál sería más fácil de expandir? Resulta que la fila o columna con más ceros genera la menor cantidad de cálculos usando el método de expansión. Mirando nuestra matriz, la tercera columna tiene dos ceros de cuatro elementos. Esto significa que nuestro trabajo se reducirá a la mitad si elegimos ese método.

Ahora que hemos elegido una columna, podemos expandirla a lo largo de esa columna. ¿Como hacemos eso? Primero, mostremos lo que vamos a hacer usando palabras, y luego veremos los determinantes de la submatriz escritos.

Para expandir a lo largo de la tercera columna, tendremos cuatro términos:

(+1) (3) multiplicado por (determinante de la submatriz del elemento en la primera fila, tercera columna)

(-1) (0) multiplicado por (determinante de la submatriz del elemento en la segunda fila, tercera columna)

(+1) (- 2) multiplicado por (determinante de la submatriz del elemento en la tercera fila, tercera columna)

(-1) (0) multiplicado por (determinante de la submatriz del elemento en la cuarta fila, tercera columna)

¿Por qué elegimos expandir una columna con muchos ceros? Porque el producto de 0 y cualquier cosa siempre es igual a cero. De los cuatro términos que acabamos de cubrir, el segundo y cuarto términos automáticamente serán cero porque tienen cero como multiplicador. Eso significa que podemos omitir el cálculo del determinante de las submatrices de los elementos cero, lo cual es una buena noticia para las personas que calculan los determinantes a mano.

En forma de matriz, nuestros dos términos se ven así:

determinante de la matriz 4x4

Entonces, hemos reducido nuestro cálculo de un determinante 4×4 a un par de determinantes 3×3 y algo de suma y multiplicación. Hay varias formas de calcular los determinantes 3×3. Hemos estado usando el método de expansión y eso funciona igual de bien para determinantes de 3×3. Simplifiquemos el primer término con una matriz de 3×3. La fila del medio tiene un cero, por lo que sería un buen candidato para la expansión. Se verá así:

determinante de la matriz 4x4

De manera similar, podemos expandir el segundo término de la matriz 3×3 a lo largo de la fila superior y evaluar:

determinante de la matriz 4x4

Solución al problema

La suma de esos dos resultados le dará la respuesta final para todo el determinante:

-48 + 16 = -32

Henry da un grito de alegría. ¡Después de años de esfuerzo, su investigación finalmente ha alcanzado un resultado exitoso!

Comprobando su trabajo

Como Henry está en el desierto, tiene que comprobar su resultado a mano. Desafortunadamente, no hay atajos para esta doble verificación. Implica repasar cada pequeño paso del proceso y asegurarse de que cada signo sea correcto y que la multiplicación y la suma se hayan realizado correctamente. La manera mucho más fácil de verificar el determinante de una matriz 4×4 es usar un programa de computadora, un sitio web o una calculadora que maneje los determinantes de la matriz. Lo que Henry tardó 10 minutos en calcular en la ruta de senderismo tardaría solo unos segundos en encontrarlo utilizando estos otros métodos.

Esto trae a colación otro punto: es muy inusual calcular un determinante 4×4 a mano a menos que esté trabajando en algo con una variable. Los programas de computadora no manejan bien los cálculos de variables. Para esos problemas, es esencial conocer el proceso para encontrar el determinante.

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