Cómo encontrar los límites de las sumas de Riemann

Determinación del tamaño de la tierra

Cortar la propiedad en varias franjas proporciona una mejor estimación del área total

Regresemos y digamos que está tratando de calcular la cantidad de terreno que tiene: el área de su propiedad. Su propiedad se extiende desde una carretera hasta el río Newton, entre una boca de incendios en el lado oeste y un pino en el lado este. Usted sabe que puede estimar el área midiendo qué tan lejos está de la carretera al río en la boca de incendios y multiplicando ese número por la distancia entre la boca de incendios y el pino. Eso le da una estimación aproximada del área, ya que es la altura de su propiedad multiplicada por el ancho de su propiedad.

Usted sabe que podría hacer una mejor estimación de la cantidad de propiedad que tiene dividiendo esto y calculando dos áreas separadas: diga el área desde la boca de incendios hasta la mitad de la línea de su propiedad y luego midiendo nuevamente a qué distancia está el río. es y el medio de su propiedad y multiplica esa altura por el ancho desde ese punto medio hasta su pino. Una vez que tenga estas dos áreas separadas, puede sumarlas y obtener una mejor estimación de su área total.

Si dividió su propiedad en tres regiones y midió el área de cada una de ellas, podría obtener una mejor estimación de su área general. Y realmente, podrías hacer esto en 16 regiones. Quizás cada uno tenga el ancho de una cortadora de césped. Por lo tanto, mientras viaja en su cortadora de césped, mide cuántos pies hay desde la carretera hasta el río; das la vuelta y mides qué tan lejos está del río hasta la carretera. Y puedes seguir haciendo esto a lo grande.

Esto es solo cortar su propiedad y medir el área de cada franja por separado. Esto le daría una estimación aún mejor de su área. Cuando corta el césped, tiene una idea bastante clara de cuánta tierra tiene. Claro, queda algún parche de césped, y tal vez de vez en cuando conduzca un poco por la carretera, pero es una estimación bastante buena de la cantidad de tierra que realmente tiene.

Usando la notación de suma de Riemann, el eje x es la carretera yf (x) es el río

Usando la suma de Riemann

Todo esto es una suma de Riemann . Es el área entre el río y la carretera, y has sumado las sumas de todas estas pequeñas porciones. En la notación de suma de Riemann, llamamos al río f (x) , a la carretera el eje x , la boca de incendios está en x = algún valor a , y el pino está en el valor x de b . Escribimos toda esta suma de Riemann como la suma de todos los n cortes, por lo que es k = 1 an (desde el primer corte hasta el n- ésimo), la altura de ese corte, que es f ( x sub k ), la altura de rebanadak , multiplicado por el ancho de ese segmento, es delta x sub k . Entonces, la altura por el ancho, súmelos todos y obtendrá una estimación bastante buena para su área.

Digamos que tenemos una propiedad de aspecto realmente moderno. Digamos que el río sigue la línea x ^ 3 – sin ( x ) + 1, y nuestra propiedad va de x = 0 a x = 2. Si tomamos un corte y lo estimamos con una suma de Riemann, una suma de Riemann del lado izquierdo, podríamos obtener un área que es 2. Si usamos dos cortes, dividiendo esto en el medio, entonces podríamos obtener un área de 2.16 más o menos. Si dividimos esto en cinco porciones, nuestra área se convierte en 3.3. Si lo dividimos en diez porciones, es aproximadamente 3.9, 20 porciones es 4.4 o menos. Si divido esto en 100 rebanadas, digamos que puedo tomar mi cortadora de césped y subir y bajar 100 veces, podría estimar que el área es de 4.5.

Cuanto más pequeños sean los cortes, más cerca estará del área real

Pero digamos que eso no es lo suficientemente bueno y quiero tomar porciones más pequeñas. Entonces, en lugar de una cortadora de césped gigante, tomaré el ancho de una cinta métrica y tomaré 1,000 rebanadas. Encuentro que mi área es un poco más de 4.5, tal vez alrededor de 4.6. Marcho hasta el ayuntamiento y digo: ‘Oye, mi terreno es de aproximadamente 4.5 o 4.6’. Dicen: ‘Sabes qué, Erin, tu tierra real es 4.58. Así que te acercas más cuantas más rebanadas tomas, pero tal vez en lugar de una cinta métrica, tal vez necesites algo más delgado para tomar rebanadas aún más pequeñas, tal vez un cabello de ancho. Entonces digo: ‘Está bien, si tomo un ancho de cabello, eso hará que la cantidad de cortes que estoy tomando sea aún mayor, y eso me acercará aún más al área real’. Puede tener sentido que cuanto menor sea el ancho, más me acerco al área real ‘.

Esto trae a colación un punto importante sobre las sumas de Riemann. Digamos que toma n rebanadas entre el punto una y el punto B en la x eje x. Así que esto es n veces más con su cortadora de césped entre la boca de incendios y el pino. Puede estimar que su área total es la suma de k = 1 an de f ( x sub k ) – esa es la altura de esa k rebanada – multiplicada por delta x sub k , ese es el ancho de esa rebanada. Pero digamos que vas a tomar el límite de esto como nva al infinito. Entonces esto significa que está tomando rodajas cada vez más delgadas; estás pasando de una cortadora de césped a una cinta métrica, a un cabello, a un nanotubo: rodajas cada vez más delgadas. Eso significa que delta x va a cero. Bueno, cuando tomas este límite, el límite cuando delta x va a cero de la suma k = 1 an de f (x) delta x , terminas definiendo lo que se conoce como integral .

Definición de la integral

Definiendo la integral

Esta integral va de a a b de f (x) dx . Entonces, aquí, a es nuestro límite izquierdo y b es nuestro límite derecho. f (x) se llama integrando, y dx es realmente la variable sobre la que estamos integrando, por lo que es x . Puede reconocer una integral, porque tiene esta línea aquí, que es la integral, y tiene algo como dx .

Si estuviera integrando sobre la variable y , sería dy , y así sucesivamente. Otra forma de recordar esto es que cuando tomas el límite cuando delta x va a cero (cuando tu porción va a cero), tu suma se convierte en la integral. Este k = 1 an en realidad solo define todos sus cortes, por lo que es como definir su región desde a (el lado izquierdo) hasta b (el lado derecho). Su f ( x sub k ) simplemente se convierte en f (x) y delta x sub k se convierte en dx , como ‘D es para delta.

Resumen de la lección

Revisemos. Si toma el límite cuando el tamaño de su porción llega a cero de alguna suma de Riemann sobre la región x = a a x = b , obtiene la integral de a a b de f (x) dx . Esto es lo que se conoce como integral definida .