Cómo encontrar volúmenes de revolución con integración

Comprensión de las regiones generadas

Se puede utilizar una pelota de fútbol para explicar el concepto de regiones generadoras.

¿Alguna vez has visto a un mariscal de campo realmente bueno lanzar una pelota de fútbol, ​​cómo gira a lo largo de algún eje? Si corta el balón por la mitad en algún lugar a lo largo de ese eje y toma solo la mitad superior, mientras gira, este corte del balón se verá como un balón completo. Si gira muy rápido, esta región ‘creará’ todo el fútbol. En matemáticas, llamamos a esto una región generadora alrededor de un eje de rotación . Esto significa que si te doy esta región generadora y eje de rotación y ves girar esta pelota, ‘generarás’ una pelota completa. Si eres el receptor que mira la pelota que viene hacia ti, ves la región que gira alrededor del eje como una pelota de fútbol completa.

Digamos que para una pelota de fútbol, ​​la región generadora está dada por el eje x en la parte inferior y la función f (x) = 2- (1/2) ( x -2) ^ 2 en la parte superior. Supongamos que desea encontrar el volumen del fútbol generado por esta región generadora rotatoria. Una forma de encontrar el volumen de una pelota de fútbol es dividirla.

El método de rebanar

Imagina una pelota de fútbol Nerf que empiezas a cortar directamente desde atrás hacia adelante. Lo corta en muchos intervalos diferentes, convirtiendo el balón en un montón de discos. Si quieres estimar el volumen de la pelota, todo lo que necesitas hacer es estimar el volumen de cada disco y sumar todos los discos, ¿verdad?

El volumen de un disco es igual a la altura por el área de la sección transversal

Estimemos el volumen de un disco. Un disco tiene un volumen de altura multiplicado por el área de la sección transversal. La altura es el grosor del disco, o del corte que ha tomado del balón de fútbol Nerf (que es delta * x ), y el área de la sección transversal es pi multiplicado por el radio al cuadrado. En este caso particular, nuestro radio está dado por la parte superior de nuestra función generadora, 2- (1/2) ( x -2) ^ 2. Aquí puede ver que este radio viene dado por la distancia entre f (x) y el eje x de cualquier disco a lo largo del eje x .

Entonces, una vez que tengo el volumen de un solo disco, puedo encontrar el volumen de todo el fútbol sumando todos los volúmenes de todos los discos. Esa es la suma, sobre todos los discos, del volumen de cada disco, o la suma de k = 1 (disco 1) al disco n de pi multiplicado por el radio del disco al cuadrado ( pi * ( r sub k ) ^ 2) multiplicado por el grosor del disco ( delta * x sub k ). Como tomo un número infinito de discos, cada uno con un grosor infinitamente delgado, termino no solo con una gran estimación del volumen total, sino con una integral, que es solo una suma de Riemann. Es la integral del lado izquierdo, una, al lado derecho, b , de pi ( r (x) ^ 2) * dx .

El método del disco

Entonces hagamos esto para nuestro fútbol, ​​donde vamos desde x = 0 en el lado izquierdo hasta x = 4 en el lado derecho. Mi volumen es de 0 a 4 de pi multiplicado por el radio al cuadrado, que es 2- (1/2) ( x -2) ^ 2, todo al cuadrado, multiplicado por dx . Si calculo esto, terminaré con el volumen de mi fútbol. Esa no es solo el área de la región. Como tengo pi y estoy elevando el radio al cuadrado, tengo toda la región que se genera cuando la hago girar a lo largo del eje x . Esto es lo que se conoce como el método de disco para volúmenes de revolución . En este método, calculamos el volumen como la integral de x = a ax = b de pi multiplicado por el radio al cuadrado en x . Puede imaginarse esto simplemente teniendo en cuenta su región generadora y su eje de rotación. Entonces estás tomando tu región generadora y la estás rotando, en este caso el eje x , para terminar con una especie de figura cilíndrica como tu pelota de fútbol.

La suma de los volúmenes de todos los discos da el volumen de todo el fútbol

El método de la lavadora

Digamos que a tu hermano pequeño no le gusta el hecho de que puedas lanzar bien una pelota de fútbol, ​​y toma una pipa y la empuja a través de la pelota, como una pelota de fútbol en un pincho. Así que ahora tienes tu fútbol y una pértiga. Si quieres saber el volumen de tu fútbol, ​​puedes pensarlo de nuevo en términos de volúmenes de revolución. Digamos que tengo un área de generación que se ve así, entonces tengo mi balón aquí, y aquí es donde él metió el poste. Si giro esta región generadora alrededor del eje x y la miro de frente, termino con una pelota de fútbol con un palo en el medio. ¿Qué pasa si quiero encontrar el volumen de mi nueva pelota de fútbol con un agujero?

Recuerda que antes usaba el método del disco para encontrar el volumen de toda la pelota, pero ahora quiero el volumen de toda la pelota menos el volumen del poste. Así que ahora solo me interesa la región, no de 0 a 4, sino de este punto a a b . Ahora el volumen de mi fútbol, menos el polo y con los extremos cortados fuera, es el volumen de una a b de pi (2- (1/2) ( x -2) ^ 2) ^ 2 * dx . Entonces eso me da el volumen de la región superior, y de eso, voy a restar el volumen del polo, que es el volumen de a a b de pi (1/2) ^ 2 * dx. Eso es porque y = 1/2 donde está el polo, y todavía estoy mirando un volumen por revolución, por lo que todavía quiero el polo completo, no solo el área de la región superior.

Reste el volumen del poste del volumen de la región superior del balón

Entonces, lo que queda de mi fútbol es el volumen sin el poste menos el volumen del poste. Esto es lo que llamamos el método de lavado para encontrar volúmenes. El método de lavado para la búsqueda de volúmenes es la integral de una a b de pi veces el radio exterior cuadrado menos el radio interior al cuadrado, todo integrado sobre dx . Puedo romper esto integral en dos integrales, es decir, V = la integral de una a b de pi veces el radio externo al cuadrado, dx , menos la integral de una a b de pi veces el radio interior al cuadrado, dx. Eso es exactamente lo que encontramos cuando encontramos el volumen de nuestro balón y le restamos el volumen del poste.

Resumen de la lección

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución, es decir, un sólido que puede hacer definiendo una región generadora y girándola alrededor de un eje de revolución, puede usar uno de dos métodos. Tenemos el método de disco para volúmenes de revolución , que es donde tomamos un montón de discos, los apilamos uno encima del otro, encontramos el volumen de cada disco y los sumamos. Utilizando el método de disco, el volumen es la integral de una a b de pi veces el radio al cuadrado veces dx . La otra forma relacionada de encontrar volúmenes es el método de lavado . En este método, el volumen de revolución está dado por V = la integral de a a bde pi multiplicado por el radio exterior al cuadrado menos el radio interior al cuadrado, todos integrados sobre dx . En el caso de nuestro balón de fútbol, ​​ese es el radio exterior, el radio del balón, menos el radio interior, el radio del poste que su hermano atravesó.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador