Cómo escribir una ecuación lineal

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Las necesidades de un matemático


Ecuación en forma pendiente-intersección donde m es la pendiente y b es la intersección y
Fórmula de intersección de pendiente

A los matemáticos les gusta ser minuciosos y encontrar todas las conexiones entre las cosas. Entonces, el simple hecho de poder pasar de una regla algebraica a dibujar el gráfico no es lo suficientemente bueno para ellos. Quieren poder tomar el otro camino también. Pasar del gráfico a la regla no es tan malo porque puede elegir la información que necesita. Pero a veces no siempre se dará la imagen y solo se le dará una pequeña cantidad de información, y depende de usted llenar los vacíos.

Encontrar una ecuación lineal

Hay muchos tipos diferentes de información que se pueden dar. Lo más común es que te den dos puntos. Tal vez le pidan que encuentre la ecuación de la línea entre los puntos (3,4) y (6, -2).

Para cualquier ecuación lineal , las dos cosas que necesitamos saber son la pendiente y la intersección con el eje y . La pendiente siempre va a ser lo primero que deberíamos intentar encontrar. Una vez que conocemos la pendiente, es mucho más fácil encontrar la intersección con el eje y.

Personalmente, me gusta encontrar la pendiente cuando me dan dos puntos simplemente usando la lógica que conozco porque sé que la pendiente es la subida sobre la carrera, lo que significa cuánto sube y baja sobre cuánto va hacia la izquierda y hacia la derecha. . Sé que el aumento es el cambio en y. Entonces, en este, veo que la y comienza en 4 y baja a -2, lo que significa que el aumento es -6. La carrera, la izquierda y la derecha, es x, y veo que comienza en 3 y sube hasta 6, que es un cambio de 3. Y entonces puedo obtener la pendiente correcta desde esto, que es -2.

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A mucha gente le gusta usar la fórmula, que es la fórmula x 1 , y 1 , x 2 , y 2 . Si lo hace de esta manera, obtendrá exactamente la misma respuesta. Inserta los números y 2 menos y 1 sobre x 2 menos x 1 (y 2 – y 1 / x 2 – x 1 ). Haces -2 y obtienes -6. Y 6 – 3 = 3. Y nuevamente, terminamos con una pendiente de -2.

Como dije antes, las dos cosas que necesitamos son la pendiente y la intersección con el eje y. Ahora sabemos cuál es la pendiente, lo que significa que la intersección con el eje y es lo único que queda por encontrar. Como sé m (-2) y porque nos dio una muestra xey (3,4), puedo sustituir todo lo que sé y me quedo con una ecuación con solo una variable en ella (4 = -2 * 3 + b).

Primero, hago la operación que nos pide: -2 * 3 = -6. Luego, tengo que obtener la b por sí sola, lo que significa que deshago el -6. Deshago la resta con la suma debido a operaciones inversas. Termino con b = 10. Ahora que sé my sé b, terminé y mi respuesta es y = -2x + 10. Eso significa que esta ecuación lineal comienza en 10 y disminuye en 2 en cada paso. del camino.

Así que ese es solo un ejemplo de información que se le puede dar. Pero hay muchas cosas diferentes que se les podrían dar y solo hemos mencionado una de esas cosas.

Paralelo y perpendicular

Otra cosa muy común de ver es que en lugar de que obtengas dos puntos, solo obtienes un punto, pero te dicen que tu línea es paralela o perpendicular a otra línea de muestra que te dicen. Para resolver esta pregunta, debes saber cuál es el problema con las líneas paralelas y perpendiculares. Las líneas paralelas son dos líneas que parecen vías de tren. Van en la misma dirección que termina significando que tienen exactamente la misma pendiente. Suben y suben exactamente la misma cantidad. Entonces, las líneas paralelas tienen las mismas pendientes.


Las rectas paralelas tienen la misma pendiente
Líneas paralelas en el gráfico

Las líneas perpendiculares , por otro lado, son dos líneas que se cruzan entre sí en ángulos rectos. Las pendientes de las líneas perpendiculares son lo que llamamos recíprocos opuestos . Una línea pasa mucho, sube un poco y una línea pasa un poco y baja mucho. Eso tiene que ver con la parte recíproca, que esencialmente significa que si tienes una fracción (1/4), la inviertes (4/1).


Las líneas perpendiculares tienen pendientes que son recíprocas opuestas
Líneas perpendiculares en el gráfico

Entonces, los recíprocos opuestos son números donde uno es positivo (1/4) y uno es negativo (-4/1), y uno es una fracción y el otro es la fracción invertida. No olvide hacer ambas cosas. Es muy común hacerlo negativo o positivo, u olvidarse de darle la vuelta o darle la vuelta pero olvidarse de cambiar el signo. Son ambos.

Encontrar una ecuación paralela

Ahora que sabemos acerca de las líneas paralelas y perpendiculares, podemos responder preguntas como esta que nos preguntan, ‘¿Cuál es la ecuación de una línea que es paralela ay = 3x + 2 y que pasa por el punto (-3,6)?’

Nuevamente, las dos cosas que necesitamos encontrar son myb, la pendiente y la intersección con el eje y. Siempre queremos encontrar la pendiente primero, así que ahora tengo que buscar la pendiente de una manera ligeramente diferente a como lo hicimos antes. Ya no puedo usar la fórmula de la pendiente, porque solo nos da un punto, así que tengo que usar lo que sé sobre líneas paralelas.

Afortunadamente, acabamos de aprender que las líneas paralelas tienen la misma pendiente, lo que significa que mi pendiente es exactamente la misma que esta, así que puedo tomar la pendiente de esta línea (3) y robarla y ya conozco la pendiente; todo mi trabajo está hecho y tengo la mitad de la respuesta a mi pregunta (y = 3x + b)

La otra mitad que todavía necesito es encontrar la by voy a hacer esto exactamente de la misma manera que lo hicimos. Ahora conozco una muestra x (-3), una muestra y (6), sé qué es m (3), todo lo que tengo que hacer es encontrar b. Puedo sustituir en lo que sé (6 = 3 * -3 + b). Puedo resolver la ecuación para b haciendo operaciones inversas para obtener la b por sí misma, y ​​encontramos que b = 15. Ahora que conocemos b y m, tenemos nuestra respuesta, que es y = 3x + 15.


Usar la forma pendiente-intersección para resolver una ecuación paralela
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Resolver una ecuación perpendicular

De manera similar, se le podría pedir que encuentre la ecuación de la línea que es perpendicular a esta que pasa por este punto. Tenemos la misma ecuación (y = 3x + 2) y el mismo punto (-3,6), pero ahora, en lugar de ser paralelo, es perpendicular.

Todavía necesito encontrar la my la b, como antes, y nuevamente, no puedo usar la fórmula de la pendiente porque solo tengo un punto. Eso significa que usamos lo que sabemos acerca de las líneas perpendiculares y cómo se relacionan sus pendientes. Sé que la pendiente de y = 3x + 2 es 3, pero como es perpendicular, no puedo simplemente robar eso.

Primero tengo que tomar el recíproco opuesto. La parte opuesta significa que cambia de positivo (3) a negativo (-3). La parte recíproca significa que cambia de -3/1 a -1/3. Y ahora, tenemos la pendiente (-1/3) de nuestra línea, lo que significa que tenemos la mitad de nuestra respuesta (y = – (1/3) x + b) y todo lo que queda por encontrar es b.

Encontramos b exactamente de la misma manera que encontramos b en todos los demás problemas de este video. Sustituimos en nuestra muestra x (-3), nuestra muestra y (6), lo que sabemos que es m (-1/3) y resolvemos la ecuación para b (6 = – (1/3) (- 3) + si). Multiplico lo que puedo y deshago para obtener b por sí mismo, y esta vez encontramos que b = 5. Esto significa que mi solución es y = – (1/3) x + 5.


Usar la forma pendiente-intersección para resolver una ecuación perpendicular
Resolver ecuaciones lineales perpendiculares

Resumen de la lección

Para repasar, aprendimos que para cualquier ecuación, necesitamos saber cuál es la pendiente y cuál es la intersección con el eje y. Una vez que sepamos esas dos cosas, terminamos y podemos sustituirlas en y = mx + b .

La forma en que realmente encontramos myb difiere según la información que se proporcione. Nos gusta usar la fórmula de la pendiente (y 2 – y 1 1 / x 2 – x 1 ) si nos da dos puntos. O quizás tengamos que usar lo que sabemos sobre líneas paralelas y perpendiculares . Siempre encontramos m primero y luego sustituimos para encontrar b.

Debe recordar que las líneas paralelas tienen pendientes iguales, mientras que las líneas perpendiculares tienen pendientes recíprocas opuestas .