Cómo factorizar la diferencia de cubos: fórmulas y problemas de práctica

Publicado el 22 noviembre, 2020

Introducción

Ocasionalmente, puede encontrar expresiones con solo dos términos de signos opuestos que no se pueden factorizar como una diferencia de cuadrados. Un ejemplo podría ser x ^ 3 – 27 o 2y ^ 3 – 16. Sin embargo, es posible que estas expresiones se puedan factorizar como una diferencia de cubos , que es una expresión de dos términos donde los términos tienen signos opuestos y son cubos cada uno. . Se utiliza una fórmula especial para factorizar una diferencia de cubos.

Fórmula de diferencia de cubos

¿Es una expresión una diferencia de cubos?

Para factorizar como una diferencia de cubos, la expresión debe tener solo dos términos con signos opuestos. En otras palabras, un término debe ser positivo y un término debe ser negativo. Si ambos signos son iguales, puede intentar factorizarlos como una suma de cubos. Además, cada término debe ser un cubo o el resultado de multiplicar la misma expresión por sí misma tres veces. Por ejemplo, x ^ 3 es un cubo ya que si multiplica x por sí mismo 3 veces, es decir, x * x * x o (x) ^ 3, termina con x ^ 3. De manera similar, 64 es un cubo ya que es igual a 4 * 4 * 4 o (4) ^ 3. Los cubos también pueden tener números y variables. 8y ^ 6 es un cubo porque la expresión (2y ^ 2) (2y ^ 2) (2y ^ 2) dará como resultado 8y ^ 6. Por ejemplo, 5x ^ 3 y 27y ^ 4 no son cubos porque 5 no es un cubo e y ^ 4 no es un cubo. Tenga en cuenta que cada parte de un término debe ser un cubo. Si se cumplen esos dos criterios, entonces ‘

Cómo factorizar una diferencia de cubos

Para factorizar una expresión como una diferencia de cubos, usará la fórmula mencionada anteriormente:

Fórmula de diferencia de cubos

Ejemplos

¿Se pueden factorizar las siguientes expresiones como una diferencia de cubos?

Ejemplo 1: x ^ 3 – 27. Sí, los términos tienen signos opuestos y podemos pensar fácilmente en expresiones que formarán un cubo para dar x ^ 3 (x) y 27 (3). Como ahora tienes a = x y b = 3, puedes reescribir el problema original como (x) ^ 3 – (3) ^ 3. Reemplazar estos valores en la fórmula da (x – 3) (x ^ 2 + (x) (3) + 3 ^ 2). Simplificar (x) (3) a 3x y 3 ^ 2 a 9 da una respuesta final de (x – 3) (x ^ 2 + 3x +9).

Ejemplo 2: x ^ 4 – 8. Si bien ambos términos tienen signos opuestos, x ^ 4 no es un cubo perfecto. Por lo tanto, esta expresión no se puede factorizar como una diferencia de cubos.

Ejemplo 3: -y ^ 3 + 1. Los términos tienen signos opuestos y debería poder reconocer y ^ 3 y 1 como cubos de y y 1, respectivamente. Sin embargo, observe que los términos aparecen desordenados con el signo ‘-‘ al frente, en lugar de entre los términos. Esta bien; simplemente podemos cambiar el orden de los términos a 1 – y ^ 3 y luego usar la fórmula de la diferencia de cubos para factorizarlo. 1 – y ^ 3 = (1) ^ 3 – (y) ^ 3 = (1 – y) (1 ^ 2 + (1) (y) + y ^ 2) = (1 – y) (1 + y + y ^ 2).

Ejemplo 4: 3x ^ 6 – 24y ^ 3. Inmediatamente debe notar que 3 y 24 no son cubos, lo que podría llevarlo a pensar que la respuesta es no. Sin embargo, si recuerda las reglas de la factorización, lo primero que debe comprobar siempre al factorizar una expresión es si existe un factor común entre todos los términos. Ojalá veas uno aquí. Se puede factorizar un 3 de ambos términos, lo que da 3 (x ^ 6 – 8y ^ 3). Entonces la expresión restante es una diferencia de cubos con a y b siendo x ^ 2 y 2y, respectivamente. Así, la factorización es la siguiente:

Factorización de 3x ^ 6 - 24y ^ 3

Resumen de la lección

Factorizar una expresión como una diferencia de cubos requiere básicamente dos pasos. Primero, debe verificar que su expresión cumpla con los criterios para una diferencia de cubos al tener dos términos de signos opuestos que sean ambos cubos. Recuerde que para algunos problemas, es posible que deba extraer un factor común antes de que esto sea cierto. Luego, si cumple con los criterios, inserte los valores en la fórmula de diferencia de cubos:

Fórmula de diferencia de cubos

Lección de un vistazo

Un cubo es un término que se multiplica por sí mismo tres veces. Para factorizar una expresión como una diferencia de cubos, primero debe verificar que solo haya dos términos y que ambos cubos tengan signos opuestos. Es posible que también deba simplificar la expresión eliminando un factor común entre los términos.

Los resultados del aprendizaje

Esta lección puede prepararlo para:

  • Identificar los criterios para una diferencia de cubos.
  • Factorizar una expresión como una diferencia de cubos

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