Cómo graficar funciones escalonadas

Funciones de pasos

¿Alguna vez has estado en un taxi mirando el taxímetro, solo para que salte al final del viaje? La mayoría de los taxis cobran por cada milla o incremento de una milla, por lo que el precio aumenta al final, incluso si solo ha conducido una pequeña parte de una milla.

Por ejemplo, considere un taxi que cobra una tarifa fija de $ 3.00 más $ 1.00 por milla o cualquier incremento de una milla. El costo es una función de la distancia recorrida ( x millas) y se define en incrementos o intervalos.

Vemos que si nuestro viaje en taxi fuera de 2.35 millas, por ejemplo, nos cobrarían $ 6, aunque no recorrimos las tres millas completas. Cuando una función se define en partes como esta, la llamamos función por partes y la representamos usando una notación que da una salida para cada intervalo de entradas.

Nuestra función de taxi es un tipo especial de función por partes llamada función de paso. Una función de paso es una función que aumenta o disminuye en pasos de un valor constante al siguiente. Dentro de la familia de funciones de escalón, hay funciones de piso y funciones de techo. Una función de piso es una función escalonada que incluye el punto final inferior de cada intervalo de entrada, pero no el punto final superior. Una función de techo es una función escalonada que incluye el punto final superior de cada intervalo de entrada, pero no el punto final inferior. Dado que nuestra función de taxi incluye el punto final más alto de cada intervalo de entrada, pero no el más bajo, es una función de techo.

Graficar funciones de pasos

Hay una razón muy válida para el nombre de una función escalonada. Para observar esta razón, grafiquemos nuestra función de taxi. ¡Espere! ¿Como hacemos eso? ¡Vamos a resolverlo!

Graficar una función escalonada es lo mismo que graficar cualquier función por partes. Simplemente graficamos cada parte por separado. Cuando se trata de una función escalonada, esto da como resultado estos pasos para graficar la función:

1. Dibuje un segmento de línea horizontal en cada valor de salida constante sobre el intervalo de valores de entrada al que corresponde.
2. Dibuja un punto de círculo cerrado (un círculo relleno) en el punto final incluido en cada línea horizontal.
3. Dibuja un punto de círculo abierto (un círculo sin completar) en el punto final que no se incluye en cada línea horizontal.

¡Bueno, eso no parece tan difícil! Grafiquemos nuestra función de taxi.

Primero, dibujamos nuestros segmentos de línea horizontal a cada costo para el intervalo de millas al que corresponde.

A continuación, dibujaremos nuestros puntos finales incluidos con un círculo cerrado.

Por último, dibujamos los puntos finales que no están incluidos usando un círculo abierto.

Vaya, eso fue bastante fácil, y ahora tenemos un gráfico de la función escalón que representa la estructura de tarifas de nuestro taxi. ¿Ves por qué las funciones escalonadas tienen su nombre? El gráfico se ve exactamente como una serie de pasos. ¡Con buena pinta!

Otro ejemplo

Veamos un ejemplo más. Suponga que acaba de comprar una moto de agua por el precio de $ 3500. Lo compraste a crédito, así que decides alquilar la moto de agua para ganar dinero y pagarlo. Decide ser amable y cobrar $ 50 la hora de tal manera que el costo salte $ 50 una vez que llegue a la siguiente hora en lugar de hacerlo subir tan pronto como alcance un incremento de una hora. Esto permite que sus clientes obtengan su primera hora gratis, ¡un gran incentivo para alquilar con usted! Si el cliente alquila la moto de agua por x horas, la estructura de tarifas es la siguiente:

Y así.

Vemos que su estructura de tarifas da como resultado una función escalonada que incluye los puntos finales inferiores, por lo que es una función mínima.

Decide hacer un letrero con su estructura de tarifas y desea incluir un gráfico de la función de tarifas. Para hacer esto, necesitamos graficar la función, ¡así que vamos a hacerlo!

Primero, dibujamos segmentos de línea horizontal a cada costo a lo largo del intervalo de horas al que corresponde.

A continuación, dibujamos nuestros puntos finales incluidos con un círculo cerrado.

Y, por último, dibujamos los puntos finales que no están incluidos con un círculo abierto.

¡Ta-da! ¡Tenemos nuestro gráfico! Ahora puede hacer su señal y pagar su moto acuática en poco tiempo.

Resumen de la lección

Una función de paso es una función por partes que aumenta o disminuye en pasos de un valor constante a otro. Una función de techo es una función en la familia de funciones escalonadas que incluye el punto final superior de cada intervalo de entrada, pero no el punto final inferior. Una función de piso es una función escalonada que incluye el punto final inferior de cada intervalo de entrada, pero no el punto final superior.

Las funciones paso a paso reciben su nombre del hecho de que sus gráficos se ven como una serie de pasos. Para graficar una función escalonada, usamos estos pasos:

1. Dibuje un segmento de línea horizontal en cada valor de salida constante sobre el intervalo de valores de entrada al que corresponde.
2. Dibuja un punto de círculo cerrado (un círculo relleno) en el punto final incluido en cada línea horizontal.
3. Dibuja un punto de círculo abierto (un círculo sin completar) en el punto final que no se incluye en cada línea horizontal.

Este tipo de funciones aparecen con frecuencia en el mundo que nos rodea, por lo que es genial que graficarlas solo implica tres sencillos pasos. ¡Es tan fácil como 1, 2, 3!

Rodrigo Ricardo Editor y fundador