Cómo graficar un valor absoluto y hacer transformaciones

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Gráficos estándar y gráficos de valor absoluto


Ejemplo de gráfico estándar
Ejemplo de gráfico estándar

Cuando está aprendiendo algo nuevo, a menudo puede ser útil comparar primero la nueva idea con una que ya conoce. Al convertir algo que parece completamente nuevo y diferente en algo que es solo un pequeño giro en un concepto que ya conoce, hay menos cosas que recordar y hace que sea mucho más fácil de aprender. Entonces, antes de saltar directamente a la gráfica de y = | x | , primero echemos un vistazo a una gráfica que ya conocemos, y = x .

Si quisiéramos practicar nuestras habilidades de forma pendiente-intersección , y = x sería básicamente y = 1x + 0 , lo que significa que la gráfica comienza en 0 y sube uno, sobre uno porque esa es nuestra pendiente, y obtenemos un golpe de puntos que están en una fila para darnos nuestra línea. También podríamos hacer fácilmente una tabla de valores donde todos los números sean exactamente iguales en cada fila para xey, y pondríamos un montón de puntos en nuestro gráfico y terminaríamos exactamente con la misma línea.

Partes de una gráfica de valor absoluto

Así que ahora que tenemos y = x, comencemos a pensar en cómo y = | x | es diferente. Bueno, sabemos que los valores absolutos no cambian los números positivos, simplemente permanecen positivos. Eso significa que mientras sustituyamos valores x positivos (la parte derecha del gráfico), el valor absoluto no hace nada, y y = | x | es básicamente lo mismo que y = x, por lo que esta parte de la derecha del gráfico no se modificará. Pero el valor absoluto convierte los números negativos en positivos. Entonces, en lugar de poner -1 y sacar -1, ponemos -1 y sacamos +1. -2 se convierte en +2, -3 se convierte en +3 y así sucesivamente. Entonces, toda la gráfica de y = x que estaba debajo del eje x ahora se refleja de nuevo por encima del eje x, casi como si hubiera un espejo justo en el eje x que no permite que la línea vaya por debajo. ,vértice del gráfico de valor absoluto.


Agregar un número en el interior del valor absoluto requiere mover el gráfico a la izquierda
traduciendo horizontalmente

Todos los gráficos de valor absoluto se ven más o menos así, la letra V. Como nota al margen, porque soy un fanático de la música, lo recuerdo diciéndome a mí mismo que la guitarra más genial es la Gibson Flying V. con una analogía diferente para ayudarte a recordar, pero eso es lo que funciona para mí. De todos modos, todos estos gráficos se ven como V, excepto que podemos jugar con ellos para cambiarlos, o voltearlos, o hacerlos más gordos o más delgados. Todas estas cosas diferentes que podemos hacer se llaman transformaciones .

Traducir horizontal y verticalmente

Llegaremos a algunas de estas otras transformaciones en una lección posterior, pero en esta lección nos centraremos en dos de las transformaciones más comunes que ve en los gráficos de valor absoluto, y esas son el desplazamiento hacia arriba / abajo y hacia la izquierda / Derecha. Cualquier transformación que simplemente mueva el gráfico a un nuevo lugar, pero que en realidad no cambie el tamaño o la forma del mismo, se denomina traslación .

El cambio de izquierda a derecha se logra sumando o restando a la x dentro del valor absoluto. Tome el ejemplo y = | x-3 |. El vértice, o la parte inferior de la V, es el punto más bajo del valor absoluto, y la forma en que obtenemos el punto más bajo es que el valor absoluto sea 0, porque nunca puede ser negativo, por lo que el más bajo será get está en cero. Entonces, antes el vértice estaba en (0,0), pero ahora la única forma en que puedo hacer que el valor absoluto sea 0 es sustituyendo en x = 3. Luego hago 3-3 y obtengo 0, por lo que mi vértice ahora se ha desplazado al punto (3,0), lo que significa que toda mi V, toda mi gráfica se desplaza allí, así que terminamos con lo siguiente grafico.


Restar fuera del valor absoluto mueve todo el gráfico hacia abajo
Gráfico de traducción vertical

Por lo tanto, cualquier número que se reste en el interior del valor absoluto nos dice cuánto se desplaza el gráfico hacia la derecha, lo que significa que cuando agrega un número en el interior del valor absoluto, debe desplazar el gráfico hacia la izquierda. Por ejemplo, y = | x + 4 | estaría por aquí. Es fácil cometer errores en este porque tienes que hacer lo contrario de lo que esperas. Pero siempre me recuerdo a mí mismo preguntando ‘qué necesito sustituir para que sea 0’, y eso siempre será lo opuesto a la operación que se realiza en el interior.

El cambio hacia arriba / hacia abajo se logra sumando o restando en el exterior del valor absoluto. Tomemos el ejemplo y = | x | -4. Nuevamente, el vértice es el punto más bajo del gráfico, y el vértice ocurre cuando tomo el valor absoluto de 0, y en este ejemplo todavía obtendré el valor absoluto de 0 simplemente sustituyendo en 0, pero después de hacerlo que todavía tengo que restar 4, por lo que todo el gráfico se arrastra hacia abajo 4, y mi vértice termina en (0, -4). Esto significa que restar en el exterior del valor absoluto reduce todo el gráfico, lo que significa que sumar en el exterior del valor absoluto empuja todo el gráfico hacia arriba. Por ejemplo, y = | x | +1 se vería como este gráfico aquí.

Este es normal en el sentido de que el más lo mueve hacia arriba y el menos lo mueve hacia abajo, por lo que es algo de lo que esperaría, mientras que la traducción izquierda / derecha es un poco hacia atrás, por lo que debe intentar mantenga esas dos cosas organizadas.

Graficar una gráfica de valor absoluto estándar


y = | xh | + k es la forma general de una ecuación de valor absoluto
Gráfico de valor absoluto estándar

Podemos combinar estas dos traslaciones en un problema y graficar cosas como y = | x + 2 | +4 tomando nuestra V con vértice en (0,0) y moviéndola 2 hacia la izquierda (debido al +2 en el interior) y hasta 4 (debido al +4 en el exterior) y terminando con un gráfico de valor absoluto que tiene un vértice en (-2,4). Debido a que el vértice tiene coordenadas en los valores que se suman / restan a la ecuación, la forma general de una ecuación de valor absoluto es y = | xh | + k donde vértice = (h, k) . Observe que h se resta en el interior del valor absoluto en la forma general, lo que significa que hace lo contrario de lo que podría esperar.

Para revisar:

  • Los gráficos de valor absoluto se parecen a la letra V, o la guitarra más genial de todos los tiempos, la Gibson Flying V, porque donde la línea normalmente se volvería negativa, el valor absoluto rebota en los positivos.
  • Las transformaciones cambian la apariencia del gráfico y la transformación específica que mueve el gráfico a un lugar diferente se llama traslación.
  • La ecuación de forma general y = | xh | + k nos da una gráfica con un vértice en (h, k) porque el número en el interior del valor absoluto desplaza la gráfica hacia la izquierda / derecha y el número en el exterior lo desplaza hacia arriba / abajo.