Cómo los valores afectan el comportamiento de las funciones polinomiales

Funciones polinomiales

Suponga que su profesor de matemáticas escribe dos funciones y sus gráficos en la pizarra.

Las funciones que se muestran en la pizarra son ejemplos de funciones polinomiales.

Una función polinomial es una función que es una suma de términos de la forma a x n , donde a es un número real, x es una variable y n es un número entero, tal que n ≥ 0.

Como habrás notado, aunque las dos funciones en el tablero son funciones polinomiales, sus gráficas se comportan un poco diferente. Observe que los extremos de f ( x ) apuntan hacia arriba, pero en g ( x ), el extremo izquierdo apunta hacia abajo y el extremo derecho apunta hacia arriba (esto se denomina comportamiento final de una función). Esta diferencia de comportamiento se debe al grado y coeficiente de adelanto de cada polinomio. El grado de un polinomio es el exponente más alto, mientras que el coeficiente de adelanto del polinomio es el coeficiente de la variable con el exponente más alto.

En las ecuaciones que se muestran en la pizarra, el exponente más alto de f ( x ) es 4, por lo que el grado de f ( x ) es 4 y el coeficiente de x 4 es 1, por lo que el coeficiente de adelanto de f ( x ) es 1 De manera similar, el grado de g ( x ) es 3 y el coeficiente de adelanto de g ( x ) es 1.

Ahora que hemos sacado el vocabulario del camino, echemos un vistazo más de cerca a cómo los valores del grado y el coeficiente de adelanto afectan el comportamiento final de una función polinomial.

Comportamiento final de una función polinomial

El comportamiento final de un polinomio está determinado por su grado y coeficiente de adelanto y se puede encontrar usando las siguientes reglas:

1. Si el grado es par y el coeficiente de adelanto es positivo, ambos extremos del gráfico del polinomio apuntarán hacia arriba.
2. Si el grado es par y el coeficiente de adelanto es negativo, ambos extremos del gráfico del polinomio apuntarán hacia abajo.
3. Si el grado es impar y el coeficiente de adelanto es positivo, entonces el extremo derecho del gráfico apuntará hacia arriba y el extremo izquierdo del gráfico apuntará hacia abajo.
4. Si el grado es impar y el coeficiente de adelanto es negativo, entonces el extremo derecho del gráfico apuntará hacia abajo y el extremo izquierdo del gráfico apuntará hacia arriba.

Observe que esto explica el comportamiento final de las dos funciones polinomiales en la pizarra. Como dijimos anteriormente, el grado de f ( x ) es 4, por lo que es par, y el coeficiente de adelanto es 1, por lo que es positivo. De acuerdo con nuestras reglas, ambos extremos de f ( x ) deben apuntar hacia arriba, que es exactamente lo que sucede en la gráfica.

En cuanto a g ( x ), el grado es 3, por lo que es impar y el coeficiente de adelanto es 1, por lo que es positivo. Las reglas nos dicen que el extremo derecho del gráfico debe apuntar hacia arriba y el extremo izquierdo debe apuntar hacia abajo. Una vez más, esto es exactamente lo que sucede en el gráfico.

Ejemplo

Veamos un ejemplo más. Considere la función polinomial

h ( x ) = -4 x 6 + 5 x 2 – x + 1

Determinamos el comportamiento final y luego verifiquémoslo con un gráfico. Primero identificamos el grado del polinomio como 6, ya que este es el exponente más alto. Ahora identificamos el coeficiente de adelanto como el coeficiente de x 6 , que es -4. Por lo tanto, tenemos un grado par y un coeficiente de adelanto negativo. ¿Puedes determinar el comportamiento final?

Según nuestras reglas, debería darse el caso de que ambos extremos apunten hacia abajo. Echemos un vistazo al gráfico para verificarlo.

Los grados y los coeficientes de adelanto pueden ayudarnos a determinar los comportamientos finales.

¡Bastante seguro! Ambos extremos apuntan hacia abajo, ¡tal como esperábamos! Determinamos el comportamiento final sin tener que graficar la función. Veamos otra cosa interesante que podemos determinar a partir de los valores de una función polinomial.

Funciones pares impares

Otra forma en que podemos observar cómo los valores afectan el comportamiento de un polinomio es en funciones pares e impares.

• Una función par es una función f , tal que f ( x ) = f (- x ) para todo x en su dominio. Su gráfica es simétrica con respecto al eje y .
• Una función impar es una función f , tal que – f ( x ) = f (- x ), para todo x en su dominio. Su gráfico tiene simetría de origen, lo que significa que si giramos la mitad del gráfico alrededor del origen 180 grados, encajará exactamente sobre la otra mitad del gráfico.

Una función puede ser par, impar o ninguna.

Cuando se trata de polinomios, si tenemos un polinomio con un solo término como f ( x ) = a x n , entonces siempre será par o impar, que se puede determinar de la siguiente manera:

• Grado par = función par
• Grado impar = función impar

Por ejemplo, considere las funciones f ( x ) = x 2 y g ( x ) = x 3 . Tenemos que f tiene un grado par y g un grado impar, por lo que de acuerdo con nuestras reglas, f es una función par y g es una función impar. ¡Echemos un vistazo a sus gráficos para ver si este es el caso!

Las funciones pares e impares tienen una simetría diferente.

Efectivamente, vemos que f es una función par y g es una función impar.

Resumen de la lección

Una función polinomial es una función que es una suma de términos de la forma a x n , donde a es un número real, x es una variable y n es un número entero, tal que n ≥ 0. El comportamiento final de la gráfica de una función polinomial está determinada por valores dentro de la función. Específicamente, el grado y el coeficiente de adelanto, donde el grado es el exponente más alto del polinomio, y el coeficiente de adelanto es el coeficiente de la variable con el exponente más alto. Estos dos valores determinan el comportamiento final de un polinomio de la siguiente manera:

• El grado es par y el coeficiente de adelanto es positivo: ambos extremos apuntan hacia arriba.
• El grado es par y el coeficiente de adelanto es negativo: ambos extremos apuntan hacia abajo.
• El grado es impar y el coeficiente de adelanto es positivo: el extremo derecho apunta hacia arriba y el extremo izquierdo hacia abajo.
• El grado es impar y el coeficiente de adelanto es negativo: el extremo derecho apunta hacia abajo y el extremo izquierdo hacia arriba.

Estos dos valores también se pueden usar para determinar si los polinomios de la forma f ( x ) = ax n son funciones pares o impares usando las siguientes reglas:

• Si n es par, f es par.
• Si n es impar, f es impar.

¿No crees que es bastante claro cómo estos valores pueden decirnos tanto sobre una función polinomial?

Rodrigo Ricardo Editor y fundador