Cómo resolver ecuaciones que no están perfectamente al cubo

Ecuaciones cúbicas

Las ecuaciones cúbicas , ecuaciones con un grado de 3, como has visto, se encuentran en álgebra y otros cursos de matemáticas. Pero, lo crea o no, no están aquí para hacerle la vida más difícil. Tienen aplicaciones del mundo real, como encontrar el volumen de varios objetos. Debido a esta importante aplicación del mundo real y otras, los matemáticos a lo largo de los años han desarrollado varios métodos para resolverlos. Aprenderá uno de estos métodos en esta lección en video.

Para poder utilizar este método, sin embargo, tenemos que asegurarnos de que nuestra ecuación cúbica está escrito en su forma estándar de hacha ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0, donde un , b , c y d son números y a no puede ser 0. Tenga en cuenta que nuestro máximo exponente de 3 se escribe primero y luego todos los demás términos se escriben en orden descendente según su exponente. Si nuestra ecuación cúbica no está escrita en forma estándar, necesitamos reescribirla para que esté en forma estándar.

Por ejemplo, si nuestra ecuación cúbica se nos da como 4 x ^ 2 + x ^ 3 + 1 = 0, necesitamos reescribirla en el orden correcto con el término x ^ 3 primero. Entonces, nuestra ecuación cúbica se reescribe como x ^ 3 + 4 x ^ 2 + 1 = 0. También necesitamos recordar nuestras habilidades para resolver ecuaciones cuadráticas, que son ecuaciones con un grado de 2. Otra habilidad que debemos recordar es el de dividir polinomios. Si siente que necesita refrescar su memoria sobre estos temas, continúe y pause este video ahora mientras revisa estos temas.

Este método funciona para cualquier ecuación cúbica que no esté perfectamente al cubo. ¿Qué significa cuando una ecuación cúbica no está perfectamente al cubo? Significa que no tiene un término al cubo menos o más otro término al cubo. Por ejemplo, x ^ 3 – 27 = 0 es una ecuación cúbica perfectamente al cubo. Si tenía otros términos o esos términos no son cubos perfectos, puede usar este método para resolverlo. Resolver ecuaciones perfectamente al cubo tiene su propio método.

El teorema de las raíces racionales

El método que vamos a utilizar se basa en el teorema de las raíces racionales , que establece que las posibles soluciones de un polinomio se pueden encontrar dividiendo un factor del término constante por un factor del número asociado al primer término. El término constante es el término que es el número por sí mismo sin ninguna variable asociada.

Veamos cómo usamos el teorema de raíces racionales para encontrar nuestra primera raíz o solución.

Encontrar la primera raíz

Comenzamos con nuestro problema de ecuación cúbica. Resolvamos la ecuación cúbica, x ^ 3 + 6 x ^ 2 + 11 x + 6 = 0. Primero aplicamos el teorema de raíces racionales para encontrar nuestra primera solución. Localizamos el número asociado con nuestro primer término, nuestro término x ^ 3. Vemos que es un 1. Nuestro término constante es un 6. Ahora necesitamos escribir nuestros factores de estos números. Recuerde que los factores son los números que se multiplican para obtener nuestro número deseado. El número 1 tiene solo un factor, que es 1. Nuestro 6 tiene factores de 1, 2, 3 y 6. Ahora dividimos cada uno de nuestros factores de 6 por cada uno de nuestros factores de 1.

Dado que nuestro número 1 tiene solo un factor, solo necesitamos dividir cada uno de nuestros factores de 6 entre 1. Al hacer esto, asegúrese de escribir tanto una versión positiva como una negativa. Puede hacer esto escribiendo el símbolo más o menos delante de cada uno. El símbolo más o menos es el que tiene un signo más en la parte superior de un signo menos. Al dividir cada uno de nuestros factores de 6 por nuestros factores de 1, obtenemos esta lista:

+/- 1, +/- 2, +/- 3, +/- 6

Ahora que tenemos nuestra lista, podemos comenzar a insertar varios números en nuestra ecuación cúbica. Nuestro objetivo es encontrar un número que haga que nuestra ecuación sea igual a 0. ¿Cómo elegimos un número para probar? Bueno, podemos mirar nuestra ecuación para ver si nos da una pista. Vemos que todos los signos de nuestra ecuación son más, por lo que me dice que necesito insertar un número negativo para que terminemos con números positivos y negativos que sumen 0.

Intentemos conectar -1. Conectamos -1 donde veamos una x y luego evaluamos. Al hacer esto, obtenemos (-1) ^ 3 + 6 (-1) ^ 2 + 11 (-1) + 6 = -1 + 6 – 11 + 6 = 0. ¡Mire eso! Lo encontramos en nuestro primer intento. -1 es una de nuestras soluciones. Si esto no nos diera 0, tendríamos que seguir probando otros números hasta encontrar uno que funcione.

Encontrar las otras dos raíces

Ahora que hemos encontrado una, necesitamos encontrar nuestras otras dos raíces o soluciones. Para hacer esto, convertimos nuestra solución en un factor de nuestra ecuación cúbica. Para hacer esto, conectamos nuestra solución en la forma factorizada de ( x – k ) donde k es nuestra solución. Dado que nuestra solución es -1, nuestro factor es ( x + 1). Ahora necesitamos dividir nuestra ecuación cúbica por este factor. Obtendremos una ecuación cuadrática después de hacer esto. Usaremos nuestras habilidades para dividir polinomios para hacer esto.

Después de dividir nuestra ecuación cúbica x ^ 3 + 6 x ^ 2 + 11 x + 6 = 0 por nuestro factor ( x + 1), vemos que nuestra ecuación cuadrática es x ^ 2 + 5 x + 6. Como sabemos cómo resolver cuadráticas, usamos lo que sabemos para seguir adelante y resolver esta cuadrática para encontrar nuestras otras dos soluciones. Estamos familiarizados con la factorización para resolver cuadráticas, así que seguimos adelante y factorizamos para resolver esta ecuación cuadrática. Nuestros factores cuadráticos en ( x + 2) ( x + 3), lo que nos da nuestras otras dos soluciones de -2 y -3.

Entonces, nuestra respuesta completa es x = -1, x = -2 y x = -3.

Resumen de la lección

Entonces, ¿ahora qué hemos aprendido? Hemos aprendido que las ecuaciones cúbicas son ecuaciones con un grado de 3. Para resolverlas, podemos usar el teorema de raíces racionales , que nos dice que las posibles soluciones de un polinomio se pueden encontrar dividiendo un factor del término constante por un factor del número asociado con el primer término. Aplicamos este teorema para darnos una lista de posibles soluciones dividiendo cada uno de los factores de nuestro término constante por cada uno de los factores del número asociado con nuestro primer término.

Una vez que tenemos nuestra lista, revisamos sistemáticamente esta lista y conectamos números hasta que encontremos un número que hará que nuestra ecuación sea igual a 0 cuando la conectemos. Una vez que la hemos encontrado, escribimos en forma factorizada para poder dividir nuestro ecuación por este factor para obtener una cuadrática, que podemos resolver para encontrar nuestras dos últimas soluciones. Nuestra respuesta completa es un conjunto de tres soluciones.

Los resultados del aprendizaje

Con la ayuda de esta lección en video, puede fortalecer su capacidad para hacer lo siguiente:

• Proporcionar la definición de ecuaciones cúbicas.
• Comprender sus aplicaciones de la vida real
• Escribe una ecuación cúbica en forma estándar
• Resolver una ecuación cúbica usando el teorema de raíces racionales
• Recuerda los pasos necesarios para encontrar raíces.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador