Cómo resolver ecuaciones trigonométricas: problemas de práctica

¿Qué es una ecuación trigonométrica?

Si ha estado trabajando en trigonometría, probablemente haya visto senos, cosenos, tangentes y relaciones de ángulos hasta que casi lo vuelva loco. Antes de que te encierres en un pabellón psiquiátrico en alguna parte, echemos un vistazo a algunos de ellos y veamos si no podemos hacerlos un poco más fáciles.

Una ecuación trigonométrica es una ecuación que involucra funciones trigonométricas , razones de los lados de un triángulo rectángulo. Las funciones de activación nos ayudan a resolver muchos tipos de problemas. En esta lección, buscaremos los ángulos que hacen que una ecuación sea verdadera.

La tabla y el diagrama siguientes están diseñados para ayudarlo a comprender y recordar las proporciones clave que componen las funciones trigonométricas básicas. Las funciones trigonométricas básicas (o identidades) son razones de dos de los tres lados de un triángulo rectángulo, y cada función tiene una función recíproca (donde el numerador y el denominador están invertidos):

Triángulo rectángulo etiquetado

Resolver ecuaciones trigonométricas

Cuando resuelve ecuaciones trigonométricas, busca x (o algún otro valor), utilizando identidades trigonométricas y las reglas del álgebra. Simplifica la ecuación a una sola identidad, como sin ( x ) = .5, luego usa su calculadora o una tabla para encontrar el valor del ángulo x . El siguiente es un ejemplo simple:

• 3 sin ( x ) = 1,5
• sin ( x ) = .5 (divide ambos lados entre 3)
• x = 30 ° (busque .5 en una tabla de senos, o extraiga el signo de arco de su calculadora)

30 ° es solo una de las soluciones. Un ángulo es una medida de rotación, y si sigues girando obtendrás más ángulos con el mismo seno. La misma proporción de lados ocurre a 150 °, 390 °, 510 °, etc. No solo eso, puede rotar hacia atrás (en el sentido de las agujas del reloj) y obtener ángulos negativos. -210 ° y -330 ° también tienen un seno de .5.

El seno es el mismo para muchos ángulos

Girar en sentido horario crea ángulos negativos

Debido a esto, la mayoría de los problemas de trigonometría incluyen una limitación de dominio ( límites superior e inferior para posibles entradas). Por ejemplo, los dominios pueden limitarse a 0 ° a 180 °, 0 ° a 360 °, -180 ° a 180 °, etc.

Como nota al margen, recuerde que algunos problemas de trigonometría funcionan en radianes en lugar de grados. Es solo otra forma de expresar ángulos. Los radianes usan las propiedades π de un círculo y, en lugar de expresar ángulos como parte de un círculo de 360 ​​°, expresan ángulos como parte de un círculo 2π. Dado que un círculo con un radio de 1 tendrá una circunferencia de 2π, cualquier ángulo se puede expresar como parte de esa rotación de 2π. Nos ceñiremos a los grados en estos ejercicios. A continuación se incluye una tabla de valores para ayudarlo con sus aventuras de activación:

Ecuaciones de ejemplo!

Muy bien, probemos uno. Parece bastante aterrador, pero recuerde, trate los términos sin ( x ) como variables y use reglas algebraicas. Este ejemplo es una ecuación cuadrática, así que tratémosla como tal.

• 2 sin² ( x ) – sin ( x ) = 1
• 2 sin² ( x ) – sin ( x ) – 1 = 0 (reste 1 de ambos lados para formar un trinomio)
• (2 sin ( x ) + 1) (sin ( x ) – 1) = 0 (factorizar el trinomio)
• 2 sin ( x ) + 1 = 0 O sin ( x ) – 1 = 0

Resolviendo para sin ( x ), tenemos lo siguiente:

• 2 sin ( x ) + 1 = 0
• 2 sin ( x ) = -1 (restar 1 de ambos lados)
• sin ( x ) = -1/2 (divide ambos lados por 2)

Para la segunda solución, tenemos estos pasos:

• sin ( x ) – 1 = 0
• sin ( x ) = 1 (suma 1 a ambos lados)

Echando un vistazo a nuestra tabla, podemos ver que nuestros dos valores para x aparecerán en 90 ° ( x = 1), 210 ° ( x = -1/2) y 330 ° ( x = -1/2). Recuerde, también hay un número infinito de otras posiciones (en otras rotaciones) donde también aparece x .

Bien, intentemos uno en el que el dominio esté predefinido para nosotros. Una vez más, el factoring nos ayudará. Recuerde, puede tratar cot ( x ), cos ( x ) y otras funciones trigonométricas como variables algebraicas.

• cot ( x ) cos² ( x ) – 2cot ( x ) = 0, donde x está entre -180 ° y 180 °
• (cot ( x )) (cos² ( x ) – 2) = 0 (factorizar el término cot ( x ))
• cot ( x ) = 0 O cos² ( x ) – 2 = 0

La primera solución, cot ( x ) = 0, ya está simplificada, pero tenemos que hacer un poco más con la segunda:

• cos² ( x ) – 2 = 0
• cos² ( x ) = 2 (suma 2 a ambos lados)
• cos ( x ) = √2 o -√2 (saca la raíz cuadrada de ambos lados)

Dado que cot ( x ) es el recíproco de tan ( x ), será 0 cada vez que tan ( x ) no esté definido (0/1 en lugar de 1/0). Dentro del dominio dado (-180 ° a 180 °), el ángulo de 90 ° y el ángulo de -90 ° cumplen esa condición, así que esas son dos de nuestras respuestas.

Entonces, ¿qué pasa con nuestras dos soluciones cos ( x )? Bueno, recuerde que el coseno es la razón del lado adyacente a la hipotenusa en un triángulo, por lo que el seno y el coseno nunca pueden ser mayores que uno o menores que -1. En este caso, las soluciones de coseno no tienen ángulos asociados.

Resumen de la lección

Las ecuaciones trigonométricas , ecuaciones que involucran funciones trigonométricas (razones de los lados de un triángulo rectángulo), se pueden resolver usando pasos algebraicos, reglas trigonométricas y conversiones. Una limitación de dominio establece límites superior e inferior para posibles ángulos de entrada; de lo contrario, debe permitir un número infinito de soluciones en rotaciones positivas y negativas.

Rodrigo Ricardo Editor y fundador