Un sistema lineal en tres variables
Probablemente esté familiarizado con las ecuaciones lineales, como y = 3 x + 4 o y – 3 x = 4. Estas ecuaciones, cuando se grafican, le darán una línea recta. Un sistema lineal , entonces, es una colección de ecuaciones lineales. Nuestras ecuaciones lineales habituales tienen solo dos variables. Debido a que tenemos dos variables, un sistema lineal que utilice este tipo de ecuaciones tendrá dos ecuaciones.
Pero, ¿sabías que también puedes tener un sistema lineal con tres variables? Sí tu puedes. Un sistema lineal en tres variables, entonces, tendrá tres ecuaciones ya que tiene tres variables. Estas ecuaciones, al igual que las que tienen solo dos variables, no tendrán exponentes. Este es un ejemplo de un sistema lineal en tres variables:
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Al observar este sistema, vemos nuestras tres variables, x , y y z . Estas tres letras son las más utilizadas, aunque puede utilizar cualquier letra que desee; tampoco tienen que estar en orden. Si tienes un amigo llamado Sam, también podrías usar fácilmente esas tres letras. Lo importante a recordar es que tenemos tres variables diferentes, y ninguna de ellas tiene exponentes con ellas.
Verá este tipo de sistemas lineales en matemáticas superiores, donde se le pedirá que los resuelva. Al igual que otros sistemas, nuestro sistema lineal en tres variables puede tener una solución, ninguna solución o un número infinito de soluciones. Al igual que las otras ecuaciones que estamos acostumbrados a resolver, si nuestro sistema tiene solo una solución, buscamos solo un punto. Pero, ¿qué pasa con los otros dos? ¿Cómo saber si nuestro sistema no tiene solución o tiene un número infinito de soluciones? Vamos a averiguar.
Sin solución
Cada ecuación de nuestro sistema, cuando se grafica, produce un plano, una superficie plana que se prolonga para siempre. Debido a que estamos tratando con tres variables, estamos tratando con un espacio tridimensional. Entonces, imagina el avión flotando en el espacio. Tenemos tres ecuaciones, por lo que tenemos tres de estas superficies planas flotando alrededor.
Para simular esto en una escala más pequeña, simplemente tome tres hojas de papel, pídale a un amigo que le preste una tercera mano y sujételas en lugares aleatorios frente a usted. Imagina que estas hojas de papel no terminan; continúan. A medida que continúe jugando, notará que muchas veces sus tres hojas de papel no se juntan.
En este caso, no tendrás solución. Incluso si dos de los planos se encuentran, si el tercero no se encuentra en el mismo punto o puntos que los otros dos, entonces no hay solución. ¿Cómo se ve esto matemáticamente? Veamos. Intentemos resolver este sistema:
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Podemos usar cualquier método con el que nos sintamos cómodos para intentar resolver nuestras variables. Dado que tenemos un sistema bien diseñado, usaré el método de eliminación para eliminar algunas de las variables para que sea más fácil para mí resolverlo.
Miro la primera y la tercera ecuación y veo que están listas para que las combine. Si sumo estas dos ecuaciones, puedo hacer que al menos la variable x desaparezca, lo que significa que puedo hacer que el coeficiente de la variable x sea 0. Sumo estas dos ecuaciones. Obtengo 0 + 0 + 0 = 4.
Hmmm … ¿tiene sentido esto? No, no es así. 0 nunca puede ser igual a 4. Puedo detenerme allí mismo. Dado que la tercera y la primera ecuación produjeron una declaración falsa, eso me dice que este sistema no tiene solución. Para que un sistema lineal de tres variables no tenga solución, todo lo que necesita es encontrar dos ecuaciones que, cuando se combinan, produzcan una declaración falsa.
Soluciones infinitas
¿Qué pasa con las soluciones infinitas? Tenemos dos casos en los que terminamos con un número infinito de soluciones. El primero es cuando todos los planos están alineados en el mismo plano, y el segundo es cuando todos se cruzan en una línea. Para esta lección, enfocamos nuestra atención en el primer caso, cuando todos los planos u hojas de papel se encuentran en el mismo plano. Veamos cómo se ve esto matemáticamente:
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Usaremos el método de eliminación nuevamente para intentar resolver esto. Primero combinamos la primera y la tercera ecuación sumándolas juntas, ya que podemos hacer que al menos la variable x desaparezca. Obtenemos 0 + 0 + 0 = 0, que se convierte en 0 = 0. Esa es una afirmación verdadera. Me dice que la primera y la tercera ecuación son el mismo plano.
¿Qué pasa con la segunda ecuación? Veamos. Puedo multiplicar la tercera ecuación por 3 y luego agregarla a la segunda para hacer desaparecer al menos una de las variables. Multiplicando la tercera ecuación por 3, obtengo -3 x – 3 y – 3 z = -9.
Añadiendo esto a la segunda ecuación, obtengo 0 + 0 + 0 = 0. ¿Es esta una afirmación verdadera? 0 = 0. Sí, es una declaración verdadera; eso significa que las tres de estas ecuaciones están en el mismo plano. Por tanto, podemos decir que este sistema tiene un número infinito de soluciones.
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Aprendimos que un sistema lineal es una colección de ecuaciones lineales. Si tenemos un sistema lineal en tres variables, entonces nuestras ecuaciones tendrán cada una tres variables, y tendremos un total de tres ecuaciones.
Para resolver estos sistemas de ecuaciones, podemos utilizar el método de eliminación, que implica posiblemente multiplicar una ecuación por un número y luego sumarla a otra ecuación en el sistema para intentar eliminar algunas de las variables.
Si nuestro sistema no tiene soluciones, entonces dos de las ecuaciones producirán un enunciado falso, como 3 = 4. Si nuestro sistema tiene un número infinito de soluciones, entonces las tres ecuaciones, cuando se combinan entre sí, producirán un declaración verdadera, como 0 = 0.
Los resultados del aprendizaje
Aprender los conceptos de esta lección en video podría ayudarlo a:
- Describe un sistema lineal en tres variables.
- Determinar si un sistema lineal de tres variables no tiene soluciones o tiene un número infinito de soluciones.
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