Cómo resolver una ecuación de valor absoluto

Revisión de valores absolutos

El valor absoluto implica la magnitud de los números especificados

Muy bien, eres un profesional en tomar valores absolutos. | 10 | =? 10! | -10 | =? ¡Todavía 10! Los números negativos se vuelven positivos nuevamente porque lo único que le importa a un valor absoluto es qué tan ‘grande’ es el número o cuál es la magnitud , no qué signo es. Incluso sabe que los valores absolutos se pueden considerar como qué tan lejos está ese número de cero. Pero todo eso ha sido para prepararte para esto: resolver ecuaciones de valor absoluto.

Ahora bien, este es un tema muy común en las clases de álgebra; El simple hecho de aprender una nueva habilidad no suele ser lo suficientemente bueno y casi siempre tendrás que aprender a aplicar esa habilidad para resolver una ecuación.

Resolver ecuaciones básicas con valores absolutos

Entonces, ¿de qué estamos hablando aquí? ¿Qué tal resolver el | x | = 15. Bueno, cada vez que se nos pide que resuelva, es nuestro trabajo encontrar un valor para la variable que hace que la ecuación sea verdadera. Entonces, ¿qué número puedo sustituir por x que hará que su valor absoluto sea 15? O podría pensar en esto como qué número está a 15 unidades de cero. 15 parece la opción obvia, pero no podemos olvidar que -15 también está a 15 unidades de cero, lo que significa que en realidad obtenemos dos respuestas aquí. x podría ser 15 o -15. Esto tiene sentido, ¿verdad? Si solo introduzco 15 en el valor absoluto, obtengo 15 de vuelta. O si introduzco -15 en el valor absoluto, de nuevo, obtengo 15 de vuelta.

Las ecuaciones de valor absoluto dan como resultado dos respuestas

Esto trae a colación un punto realmente importante: las ecuaciones de valor absoluto nos dan dos respuestas. | x | = 20? x es 20 o -20. | x | = 1.000? x es 1.000 o -1.000. | x | = -5.000? x es igual a 5000 o negativo, ¡espera! Los valores absolutos no pueden ser números negativos, así que no importa lo que conecte para x , no hay forma de que obtenga -5,000. Entonces, cada vez que un valor absoluto se establece igual a un número negativo, no hay solución.

Dividir una ecuación en dos

Vamos a subir un poco la dificultad ahora. ¿Y si te pide que lo resuelvas? x -5 | = 20? Ahora puede ser realmente tentador deshacer la resta con la suma porque son operaciones inversas. Entonces sumamos 5 a ambos lados y obtenemos | x | = 25 y luego decimos, ‘¡oye, dos respuestas! 25 y -25 y terminamos ‘. Pero no puedes olvidar que las barras de valor absoluto actúan como paréntesis, lo que significa que tienes que hacer todo en el interior antes de tomar el valor absoluto. Entonces, cuando agregas 5 a ambos lados de esa manera, estás rompiendo esa regla, lo que significa que hacer eso es un gran no-no. No puedes hacer eso.

Entonces, si damos un paso atrás y miramos el panorama general y decimos, ‘está bien, vamos a hacer algunas cosas con nuestra x aquí, y después de todo lo que está hecho, tomamos el valor absoluto y obtenemos 20.’ Es como si pudiéramos tapar lo que hay en el interior del valor absoluto con nuestro dedo y decir: ‘Realmente no me importa lo que hay ahí dentro; Tomo un valor absoluto cuando obtengo 20, lo que significa que lo que esté adentro debe ser igual a 20 o lo que esté adentro debe ser igual a -20 ‘.

Después de dividirlo en dos ecuaciones, puede volver a sustituir lo que está en el interior de las barras quitando el dedo y diciendo: ‘oh sí, hay una x -5 allí’. Entonces x -5 = 20 o x -5 = -20, y esas son las dos ecuaciones correctas con las que deberíamos terminar.

Resuelve x para obtener las dos respuestas al problema.

Ahora podemos deshacer la resta con la suma. Sumar 5 a ambos lados nos da nuestras dos respuestas de que x = 25 ox = -15. Cuando resuelve ecuaciones, siempre puede verificar sus respuestas sustituyéndolas nuevamente en la ecuación original. Puedo hacer eso aquí solo para asegurarme de que hice todo bien. Si enchufo 25, 25-5 es 20 y | 20 | permanece igual y obtengo 20, por lo que verifica. Pongo -15, -15-5 es -20. Ahora tomo el valor absoluto, se vuelve positivo nuevamente y también se verifica para que sepamos que obtuvimos la respuesta correcta.

Solo para recordarnos otro concepto erróneo común; al dividir la ecuación en dos, no la cambie a x -5 = 20 o x +5 = 20. Nuevamente, las barras de valor absoluto no cambian las operaciones que se llevan a cabo dentro de ellas, solo cambian el resultado final a ser un número positivo . Así que todavía tenemos que hacer el -5 y luego de hacer eso, cambiamos el número de nuevo. Entonces, cambiarlo a dos ecuaciones donde una es menos y otra es más es otra cosa que debes tener cuidado de no hacer.

Resumen de la lección

Para repasar, las ecuaciones de valor absoluto nos dan dos respuestas. Los valores absolutos que son iguales a números negativos no tienen solución porque los valores absolutos siempre son positivos. Las ecuaciones de valor absoluto con operaciones en el interior deben dividirse primero antes de resolver la variable.