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Cómo resolver y graficar una desigualdad de valor absoluto

Publicado el 18 septiembre, 2020

Revisión de desigualdades y valor absoluto

A los matemáticos les encanta experimentar, por lo que tiene sentido que una vez que se les ocurrieron las ideas separadas de valores absolutos y desigualdades pensaron ‘¡veamos qué sucede cuando las juntamos!’ Pero antes de intentar averiguarlo por nosotros mismos, repasemos rápidamente cuáles son esas dos cosas individualmente.

Las desigualdades significan ‘mayor que’ o ‘menor que’ y son buenas para expresar situaciones en las que algo puede ser al menos o como mucho otra cosa. Podemos tener desigualdades de 1 variable que tengan gráficas en rectas numéricas y desigualdades de 2 variables que tengan gráficas en el plano de coordenadas. Podemos resolver desigualdades, al igual que las ecuaciones, con operaciones inversas siempre que recordemos la única regla adicional: debes darle la vuelta al símbolo de desigualdad al multiplicar o dividir ambos lados por un número negativo.


Ejemplo de una igualdad compuesta o
1 Ejemplo de desigualdad de valor absoluto de variable

Los valores absolutos son importantes cuando solo nos importa la magnitud de un número, o qué tan ‘grande’ es, independientemente de si es positivo o negativo. Debido a esto, el valor absoluto hace que todos los números sean positivos, sean o no positivos al principio. Graficar valores absolutos nos da lo que parecen Vs, porque cuando la línea normalmente se volvería negativa, el valor absoluto la devuelve a los positivos.

Cuando resolvemos ecuaciones de valor absoluto, aún podemos usar las mismas operaciones inversas para obtener variables por sí mismas, pero debemos recordar que la forma de ‘deshacer’ un valor absoluto es dividiendo la ecuación en dos nuevas: una que sea igual a el positivo y uno que es igual al negativo. Por lo tanto, suele ocurrir que las ecuaciones de valor absoluto nos den dos respuestas.

Desigualdades de valor absoluto de 1 variable

Entonces, ahora que la revisión está fuera del camino, combinemos esas dos habilidades en una de la manera más simple posible. Resolver y graficar | x | > 5.

Sin aprender nada nuevo, intentemos resolver este problema como lo haríamos antes. Si me piden que resuelva, y tengo un valor absoluto, necesito deshacerlo dividiendo la desigualdad. Esto me deja con dos desigualdades, x > 5 ox > -5.

Bueno, eso no estuvo tan mal. Ahora me quedo con una desigualdad compuesta porque tengo dos desigualdades en una, pero está bien. Revisemos nuestras respuestas para asegurarnos de que sea realmente así de fácil.

x > 5 dice que números como 6 o 100 deberían funcionar en el problema original, por lo que podemos sustituirlos, tomar valores absolutos y, por supuesto, verificar.


Ejemplo de una desigualdad compuesta
1 Desigualdad de valor absoluto variable con Y

Bien, ahora x > -5. Eso dice que números como -4 o 1 deberían funcionar. Entonces podemos sustituirlos en el problema original, tomar valores absolutos y … eh, no es así. Dado que el valor absoluto los hace positivos, 4 y 1 no funcionan porque su magnitud no es tan grande como 5. Entonces, lo que realmente necesitamos son números negativos ‘grandes’, como -10 o -100, porque entonces el valor absoluto el valor los cambiaría de nuevo en positivo y estaríamos en el negocio. Entonces, en lugar de x > -5, lo que realmente necesitamos es x <-5 porque números como -10 y -100 son técnicamente menores que -5, aunque son números ‘más grandes’ o de mayor magnitud.

Lo que acabamos de descubrir es la regla de oro para resolver desigualdades de valor absoluto de una variable. Al dividir la desigualdad en dos nuevas para deshacer el valor absoluto, necesitamos invertir el signo en el que establecimos en negativo. Personalmente recuerdo esto al pensar en ello como multiplicar y dividir por una regla negativa, donde tienes que voltear el signo. Es algo similar.

De todos modos, ahora que tenemos nuestra respuesta correcta como x > 5 ox <-5, podemos graficar la desigualdad compuesta usando nuestro conocimiento previo.

Hacer una desigualdad a la vez y poner un círculo abierto en 5 porque es simplemente ‘mayor que’ y no ‘o igual a’ y dibujar una flecha a la derecha para indicar todos los números mayores que 5 se ocupa de la mitad del gráfico. Luego, colocando otro círculo abierto en -5 y dibujando nuestra flecha hacia la izquierda para indicar los números más pequeños, se encarga del resto.

Mirar el gráfico nos muestra que lo que tenemos es una desigualdad compuesta ‘o’ porque las dos flechas van en direcciones opuestas. Eso significa que los números mayores que 5 o los menores que -5 funcionarán en nuestras desigualdades originales.

Las desigualdades de valor absoluto también nos pueden dar desigualdades ‘y’ compuestas. Por ejemplo: resolver y graficar | x | <5

Ahora, en lugar de buscar números muy ‘grandes’ que deberán ser mayores de cinco después de que se hayan convertido en positivos, buscamos un grupo selecto de números ‘pequeños’ que aún serán menores de cinco incluso después de que hayan se ha vuelto positivo.

Usar nuestra nueva habilidad de voltear el símbolo de desigualdad al deshacer un valor absoluto nos da nuestra desigualdad resuelta como x <5 y x > -5. Recuerda que tuve que darle la vuelta.

La razón por la que esta es una desigualdad compuesta de ‘y’ es que para que nuestra solución funcione, debe satisfacer ambas condiciones. No solo tiene que ser menor que 5, también tiene que ser mayor que -5. No funcionará si solo una de esas cosas es verdad y no la otra. Tomemos, por ejemplo, 10:10 es mayor que -5, pero no es menor que 5. Por lo tanto, cuando reemplacemos 10 en la desigualdad original, encontrará que no funciona. Cualquier desigualdad compuesta donde ambas condiciones deben ser verdaderas para que su solución funcione es una desigualdad compuesta ‘y’. Una vez que graficamos la desigualdad, obtenemos esto, y vemos que solo los números ‘pequeños’ entre -5 y 5 seguirán siendo menores que 5 después de cambiar a positivo.

Desigualdades de valor absoluto de 2 variables

Por último, también podemos graficar desigualdades de valor absoluto de 2 variables, digamos: y <| x -2 | + 1.

Al igual que otras gráficas de desigualdad de 2 variables, debemos comenzar graficando la línea límite justo donde y = | x -2 | + 1.


Usar habilidades de traducción para graficar el límite de la ecuación
Graficando 2 Desigualdad de Valor Absoluto Variable

Esto requiere que usemos nuestras habilidades de traducción: use el -2 en el interior del valor absoluto para mover el vértice a la derecha y el 1 positivo en el exterior para mover el vértice hacia arriba 1. Porque no hay ninguna variable delante del valor absoluto, podemos asumir que hay un pequeño número imaginario 1 allí, y eso nos dice que la pendiente de la V es 1, lo que significa que desde mi vértice, subo 1 y luego sobre 1 en ambas direcciones para encontrar la V.

Ahora debemos decidir qué lado de la V es el lado ‘mayor que’ y cuál es el lado ‘menor que’. Sustituir en el origen (0,0) a la desigualdad original sigue siendo una buena estrategia, y hacerlo nos da 0 <| 0-2 | + 1. Simplificar esto nos da 0 <3, que es un enunciado verdadero. Por lo tanto, el área de la gráfica en la que está el origen es la parte de la gráfica que debemos sombrear. Esto significa que sombreamos todo en el exterior de la V: a la izquierda, debajo y a la derecha.

Por último, debido a que la desigualdad era estrictamente “menor que” y no “igual a”, hacemos que V sea una línea de puntos para indicar que no es parte de la solución. Una vez realizados todos los pasos, terminamos y tenemos este gráfico como respuesta.


Usar una línea de puntos muestra que no es parte de la solución
Gráfico sombreado de desigualdad de valor absoluto de 2 variables

Resumen de la lección

Al resolver desigualdades de valor absoluto de 1 variable , hay una nueva regla para recordar: al deshacer un valor absoluto dividiendo la ecuación en dos, debe voltear el símbolo de desigualdad en la desigualdad que se establece en negativo (algo así como el todo ‘ voltear el signo al multiplicar o dividir por una cosa negativa).

Las desigualdades de valor absoluto de 1 variable nos dan desigualdades compuestas .

Un valor absoluto que es mayor que algo nos da una desigualdad compuesta ‘o’, mientras que un valor absoluto que es menor que algo nos da una desigualdad compuesta ‘y’.

Graficar desigualdades de valor absoluto de 2 variables no tiene reglas nuevas para recordar, y sus respuestas deben verse como V, con el interior o el exterior de la V sombreada.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá:

  • Resolver desigualdades de valor absoluto de 1 y 2 variables
  • Gráfico de desigualdades de valor absoluto de 1 y 2 variables

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