Cómo utilizar el teorema de la diferencia de dos cuadrados para resolver ecuaciones cuadráticas

Publicado el 22 noviembre, 2020

Revisión de términos

Los profesores de álgebra no siempre te lo dicen, ¡pero factorizar ecuaciones cuadráticas puede ser una experiencia dolorosa! Afortunadamente para todos los que no somos súper matemáticos, algunas de esas cuadráticas pueden ser MUCHO más fáciles si conoces algunos trucos. Uno de esos casos especiales es la diferencia entre dos cuadrados.

Una ecuación de segundo grado es una ecuación especial, por lo general en la forma ax ² + bx + c = 0, donde x es un desconocido, un es un número distinto de cero, y b y c puede ser cualquier número. La gráfica de esta ecuación es siempre una parábola (algo así como un tazón de sopa, ya sea hacia arriba o hacia abajo), que puede o no cruzar el eje x .

Factorizar es el procesamiento de dividir una ecuación cuadrática en pedazos (factores) que se pueden multiplicar para producir la ecuación cuadrática. Esto es útil debido a cómo funciona el número 0. Todo lo que se multiplique por 0 se convierte en 0, por lo que si puede dividir su cuadrática en factores, puede resolver los valores de x que lo harán cero (los lugares donde la gráfica cruza el eje x ).

Teorema de diferencia entre cuadrados

El teorema de la diferencia de dos cuadrados nos dice que si nuestra ecuación cuadrática se puede escribir como una diferencia entre dos cuadrados, entonces se puede factorizar en dos binomios, uno una suma de las raíces cuadradas y el otro una diferencia de las raíces cuadradas. Esto a veces se muestra mediante la expresión A ² – B ² = ( A + B ) ( AB ). Esta técnica funciona para cualquier expresión, siempre que tenga una diferencia entre cuadrados.

Una cosa buena de esta técnica es que puedes sacar la raíz cuadrada de cualquier expresión positiva, por lo que no tienes que tener cuadrados perfectos para que esto funcione. Sin embargo, observe que esto solo funciona para una DIFERENCIA entre cuadrados, no una SUMA de cuadrados, como x ² + 4. Una suma de cuadrados no se puede factorizar de esta manera.

Ejemplos

Veamos algunos ejemplos de cómo usar esto para resolver ecuaciones cuadráticas.

Ejemplo 1:

Digamos que tiene la ecuación x ² – 4 = 0. Los pasos son simples.

1. Escribe dos pares de paréntesis.

() ()

2. En el primer conjunto, escriba la raíz cuadrada del término x ² (solo x ), un signo ‘+’, luego la raíz cuadrada del segundo término, 4. Por lo tanto, debería obtener:

( x + 2)

3. En el segundo conjunto, escriba los dos cuadrados nuevamente, pero esta vez ponga un ‘-‘ entre ellos.

( x – 2)

4. Cualquiera de los factores puede ser 0, así que configure cada factor como una expresión igual a 0.

( x + 2) = 0; ( x – 2) = 0

5. Si x + 2 = 0, restar 2 de ambos lados da como resultado:

x = -2.

6. Si x – 2 = 0, agregar 2 a ambos lados da como resultado:

x = 2.

7. La variable x puede ser 2 o -2.

Ejemplo 2

Probemos uno donde a no es 1. ¿Qué tal 4 x ² – 25 = 0?

  1. 4 x ² – 25 = 0 (ecuación original)
  2. (2 x + 5) (2 x – 5) = 0 (suma de raíces cuadradas por la diferencia de raíces cuadradas)
  3. 2 x + 5 = 0, o 2 x – 5 = 0 (establezca cada factor igual a 0)
  4. 2 x = -5, o 2 x = 5 (aislar el término x transfiriendo el término que no es x al otro lado)
  5. x = -5/2, o x = 5/2 (divide ambos lados por el coeficiente de x )

Ejemplo 3

Utilice esta misma técnica cuando la ecuación sea una diferencia entre dos variables cuadradas. Por ejemplo, x ² – y ² = 0; se puede factorizar de la siguiente manera:

  1. x ² – y ² = 0 (ecuación original)
  2. ( x + y ) ( xy ) = 0 (suma de raíces cuadradas por la diferencia de raíces cuadradas)
  3. x + y = 0, o xy = 0 (establezca cada factor igual a 0)
  4. x = – y , o x = y (aislar el término x transfiriendo el término que no es x al otro lado)

Ejemplo 4

Bien, intentemos uno donde los cuadrados no sean tan limpios y fáciles. Digamos que tenemos 9 x ² – 15 = 0:

  1. 9 x ² – 15 = 0 (ecuación original)
  2. (3 x + √15) (3 x – √15) = 0 (suma de raíces cuadradas por la diferencia de raíces cuadradas)
  3. 3 x + √15 = 0, o 3 x – √15 = 0 (establezca cada factor igual a 0)
  4. 3 x = -√15, o 3 x = √15 (aislar el término x transfiriendo el término que no sea x al otro lado)
  5. x = -√15 / 3, o x = √15 / 3 (divide ambos lados por el coeficiente de x )

Resumen de la lección

Una ecuación de segundo grado es una ecuación especial que se puede escribir en la forma ax ² + bx + c = 0, donde x es un desconocido (la variable), un es cualquier número excepto 0, y b y c son los valores (incluyendo 0 ). Factorizar es el proceso de dividir una expresión en dos o más productos, expresiones más pequeñas que se pueden multiplicar para volver a la original.

El teorema de la diferencia de dos cuadrados dice que cada vez que una ecuación se puede escribir como una diferencia entre cuadrados A ² – B ² = 0, se puede reescribir como dos productos, la suma y la diferencia de las raíces cuadradas ( A + B ) ( AB ) = 0. Esto es útil porque facilita la búsqueda de valores para x . Sin embargo, observe que esto solo funciona para una DIFERENCIA entre cuadrados, no para una SUMA de cuadrados. El teorema de la diferencia de dos cuadrados puede ahorrar mucho tiempo al resolver ciertas ecuaciones cuadráticas.

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