El teorema del binomio
En matemáticas, normalmente tenemos fórmulas con las que podemos trabajar. A veces, estas fórmulas pueden resultar algo complicadas. Pero muchas veces, estas fórmulas tienen patrones. Si podemos detectar los patrones, podemos encontrar una manera más fácil de usar la fórmula. Esto es lo que vamos a hacer en este video. Aprenderemos los patrones en el teorema del binomio y cómo podemos usarlo para expandir nuestros binomios que se multiplican con ellos mismos numerosas veces.
Nuestro teorema del binomio es un teorema que nos dice qué sucede cuando multiplicas un binomio por sí mismo varias veces. Recuerda que un binomio es un polinomio formado por dos términos. Sin embargo, para mantener las cosas simples para nosotros, etiquetaremos nuestro binomio como ( a + b ) donde a y b son sus dos términos en el binomio.
Piense en la cantidad de ruedas que tiene una bicicleta y podrá recordar la cantidad de términos que tiene un binomio. La fórmula que está relacionada con el teorema del binomio es esta. Tenemos un más b elevado a la n – ésima potencia es igual a la suma de n elegir k multiplicado por a elevado a n menos k potencia multiplicado por b elevado a la k – ésima potencia de k es igual a 0 a k es igual a n .
 |
Sí, lo sé, parece complicado. Pero produce patrones que puede recordar fácilmente.
Entendiendo la Fórmula
Analicemos esta fórmula para que podamos entenderla mejor. La primera parte, a más b elevado a la enésima potencia, entendemos que es el tipo de problema con el que podemos usar nuestra fórmula. Por ejemplo, podemos usar nuestra fórmula con problemas como ( x + y ) ^ 3 y ( a + b ) ^ 5 porque siguen la forma de la primera parte de la fórmula.
Cómo escribir un ensayo persuasivo y utilizar varias fuentes
La siguiente parte de la fórmula, la parte que sigue al signo igual, nos dice nuestra respuesta para este tipo de problemas. El símbolo grande al frente se llama símbolo de suma. Le dice que sume la parte de la fórmula que está a la derecha de ella comenzando desde k = 0 y yendo hasta k = n . Por lo general, veremos una k y / o una n en la fórmula. Para cada k = 0, 1, 2, etc., hasta n , conectaremos nuestros valores y luego sumaremos todos los términos para encontrar nuestra respuesta final. Te mostraré un ejemplo en breve para que puedas entenderlo mejor.
La parte de la fórmula que está dentro del paréntesis es la notación para un problema factorial. Lo leemos como n elige k . Es la abreviatura de n ! / ( K ! ( N – k )!). Entonces, si n = 4 y k = 2, esta parte sería igual a 4 por 3 por 2 por 1 en el numerador y 2 factorial por 4 menos 2 factorial, que es 2 factorial por 2 factorial en el denominador. Entonces, el denominador es 2 por 1 por 2 por 1. Al multiplicar todos estos, encontramos que es igual a 6.
 |
Ahora, veamos un ejemplo de cómo funciona esta fórmula del teorema binomial. Seguiremos la fórmula para expandir ( a + b ) ^ 3.
 |
Parece mucho, ¿no? Si hacemos nuestras restas y nuestros cálculos factoriales, terminamos con esto:
 |
Oye, nuestra respuesta final no se ve tan mal. ¿Podemos detectar algún patrón aquí? Si podemos. Mira los exponentes de nuestra a y nuestra b . Observe que a medida que avanzamos hacia la derecha, el exponente de nuestra a comienza en nuestra n y disminuye hasta llegar a 0. El exponente de nuestra b , por otro lado, comienza en 0 y aumenta hasta llegar a n .
Cómo utilizar el análisis de costes y beneficios en la gestión de casos
En nuestro caso, n es 3, por lo que nuestra un exponente comenzó con 3 y bajó a 0, y nuestro b exponente comenzó a 0 y subió a 3. Recuerde que cuando el exponente es 0, que es igual a 1. Así que b ^ 0 es igual a 1. Y cuando es igual a 1, no lo escribiremos ya que hay otras cosas en el término que escribimos. Entonces, ¿qué otros patrones podemos detectar?
Triángulo de Pascal
Aquí es donde entra en juego el triángulo de Pascal . El triángulo de Pascal es un triángulo de números donde el primer y último término de una fila son 1 y todos los demás números son la suma de los dos números directamente encima. El triángulo de Pascal siempre comienza con 1 en la punta y dos 1 debajo, formando un triángulo. La siguiente fila tiene un 1 en ambos extremos. El número del medio es la suma de los dos números que están encima, por lo que 1 + 1 es igual a 2. La siguiente fila también tendrá unos en cada extremo.
Los números entre estos unos se componen de la suma de los dos números que están encima. Entonces, el primer número es 1 + 2, que es 3. El siguiente número es 1 + 2, que también es 3. Entonces, los números de esta fila son 1, 3, 3 y 1. Podemos seguir haciendo nuestro Pascal Triángulo aún más grande al continuar con nuestra adición.
 |
Note los números en la fila con el 1, 3, 3 y 1. ¿No tiene nuestra respuesta esos mismos números como coeficientes? Sí lo hace. Resulta que los coeficientes del teorema del binomio siguen los números del triángulo de Pascal. Cada fila daría a los coeficientes una n diferente . La primera fila, la punta, es para n = 0.
El siguiente es n = 1. El siguiente es n = 2. Y el siguiente es n = 3. Y podemos seguir por ese camino. Entonces, si queremos expandir el binomio ( a + b ) ^ 5, nuestros coeficientes según el Triángulo de Pascal son 1, 5, 10, 10, 5 y 1, en ese orden.
Cómo utilizar la combinación de correspondencia en Microsoft Word
Expandiendo un binomio
Ahora que conocemos todos los patrones involucrados, podemos expandir nuestros binomios mucho más fácilmente. ¿Cuáles son los patrones, de nuevo? Son que los exponentes de la una disminución término a 0 a partir de n , mientras que los exponentes de b aumento a partir de 0 y terminando con n . Nuestros coeficientes siguen una fila particular del triángulo de Pascal.
Veamos cómo usar estos patrones para expandir el binomio ( a + b ) ^ 5. Nuestra n es igual a 5, por lo que usaremos los coeficientes de la fila del triángulo de Pascal que corresponde an = 5. Esta fila en particular tiene los números 1, 5, 10, 10, 5 y 1. Esto significa que tendremos un total de 6 términos en nuestra respuesta. Los otros patrones que usaremos son los de los exponentes.
Sabemos que para nuestra a el exponente comienza en n , 5 en nuestro caso, y desciende hasta que es 0, mientras que para nuestra b , el exponente comienza en 0 y sube hasta que es 5 o n . Por lo tanto, el uso de todos estos patrones, nos encontramos con que nuestra respuesta es igual a la quinta potencia, más de 5 veces una a la cuarta potencia por b multiplicada por 10, una a los tiempos tercera potencia b a la segunda potencia multiplicada por 10, a la segunda potencia multiplicado por b elevado a la tercera potencia más 5 veces a multiplicado por b elevado a la cuarta potencia más b a la quinta potencia.
 |
Esta es nuestra respuesta. ¿Ves cómo sigue todos los patrones de los que hablamos? Nada mal, ¿eh?
Resumen de la lección
Repasemos lo que hemos aprendido ahora. Hemos aprendido que el teorema del binomio es un teorema que nos dice qué sucede cuando multiplicas un binomio por sí mismo varias veces. La fórmula es a más b elevado a la n – ésima potencia es igual a la suma de n elegir k multiplicado por a elevado a n menos k potencia multiplicado por b elevado a la k – ésima potencia de k es igual a 0 a k es igual a n . Si bien la fórmula parece un poco aterradora, vemos que nos brinda algunos patrones muy útiles que podemos usar para ayudarnos.
Vemos que los exponentes del primer término de nuestro binomio comienzan en nuestra ny descienden hasta que es 0, mientras que los exponentes de nuestro segundo término comienzan en 0 y van hacia arriba hasta que es n . También vemos que nuestros coeficientes siguen una fila particular del triángulo de Pascal , que es un triángulo de números donde el primer y último término de una fila son 1 y todos los demás números son la suma de los dos números directamente encima. Usando estos patrones, podemos expandir fácilmente cualquier binomio.
Los resultados del aprendizaje
Aprender los temas de esta lección podría permitirle:
- Recuerda el teorema del binomio
- Reconocer y usar el triángulo de Pascal para expandir un binomio
- Expandir un binomio usando el teorema del binomio
Explora más sobre este tema
Selecciona un tema y sigue aprendiendo...
